시대순으로 다시 읽는 수학 지도

핵심 등식, 방정식과 항등식의 구분, 해(근). 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 곱해도 성립하는 등식의 성질.

역사 이집트의 린드 파피루스(B.C. 1650년경)에는 “어떤 양에 그 $\tfrac{1}{7}$을 더했더니 $19$가 되었다, 그 양은?” 같은 ‘아하(미지량) 문제’가 실려 있다. 모르는 양을 ‘$x$’로 놓고 균형을 맞춰 찾는 발상은 인류의 가장 오래된 문제 해결 전략 중 하나다.

핵심 직각삼각형에서 빗변 $c$와 다른 두 변 $a,\,b$에 대해 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

역사 이 정리는 피타고라스 이전부터 여러 문명이 알고 있었다. 바빌로니아의 점토판(플림턴 322)에 직각삼각형 수의 쌍이 적혀 있고, 이집트는 $3{:}4{:}5$ 끈으로 직각을 만들었으며, 중국 《주비산경》에는 ‘구고현(勾股弦)’으로 실려 있다. 피타고라스 학파가 이를 증명해 보편 진리로 끌어올렸다.

핵심 제곱하여 $a$가 되는 수가 $a$의 제곱근(양수 $a$는 $\pm\sqrt{a}$ 두 개). $(\sqrt{a})^{2}=a$, $\sqrt{a^{2}}=|a|$.

역사 넓이가 $2$인 정사각형의 한 변, 즉 $\sqrt{2}$를 구하려는 문제가 제곱근의 출발이다. 바빌로니아 점토판에는 이미 $\sqrt{2}$의 놀랍도록 정밀한 근삿값이 새겨져 있어, 측량·건축에서 제곱근이 실제로 필요했음을 보여 준다.

핵심 $ax^{2}+bx+c=0\,(a\ne0)$ 꼴과 그 해(근).

역사 “넓이가 주어진 직사각형의 변을 구하라” 같은 문제로, 바빌로니아는 B.C. 2000년경 이미 이차방정식을 풀었다. 땅의 면적과 둘레로부터 변의 길이를 찾는 토지·건축 문제가 이차방정식의 가장 오래된 동기다.

핵심 시초선에서 회전한 양을 부호와 함께 나타낸 일반각. 반지름과 호의 길이가 같을 때의 중심각을 $1$ 라디안으로 삼는 호도법을 쓰면 $180^{\circ}=\pi$ 라디안. 부채꼴의 호의 길이 $l=r\theta$, 넓이 $S=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta$.

역사 각을 $360$등분하는 도(度)는 바빌로니아의 60진법과 1년 약 360일에서 왔다. 반면 호도법(라디안)은 18세기 이후 자리 잡았는데, 각을 ‘호의 길이’라는 순수한 수로 재기에 미적분에서 삼각함수의 도함수가 가장 깔끔해진다.

핵심 이웃한 두 항의 차(공차 $d$)가 일정한 수열. 일반항 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_{n}=\dfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.

역사 어린 가우스가 $1$부터 $100$까지를 순식간에 더해 $5050$을 답했다는 일화는 등차수열의 합을 양 끝을 짝지어 구하는 발상을 보여 준다. 이런 합의 셈은 고대 바빌로니아·이집트의 분배와 측량에서부터 쓰였다.

핵심 이웃한 두 항의 비(공비 $r$)가 일정한 수열. 일반항 $a_{n}=a_{1}r^{n-1}$, 합 $S_{n}=\dfrac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$ $(r\ne1)$.

역사 “체스판의 첫 칸에 쌀 한 톨, 다음 칸에 두 톨, 그다음 네 톨…”이라는 옛이야기는 등비수열의 폭발적 증가를 보여 준다. 린드 파피루스(B.C. 1650)에도 등비수열 문제가 있으며, 복리 이자와 인구 모형이 모두 이 수열을 따른다.

핵심 소수($1$과 자기 자신만을 약수로 갖는 $1$보다 큰 자연수)와 합성수. 자연수를 소수만의 곱으로 나타내는 것이 소인수분해이며 거듭제곱으로 표현한다(예: $360=2^{3}\times3^{2}\times5$). 약수의 개수 $=(\text{지수}+1)$들의 곱.

역사 고대 그리스의 피타고라스 학파(B.C. 6세기)는 “만물은 수”라 믿고 수를 더 쪼갤 수 없는 단위로 분석하려 했고, 그 과정에서 소수를 ‘수의 원자’로 보았다. 유클리드는 《원론》(B.C. 300년경)에서 소수가 무한히 많음을 증명했고, 모든 자연수가 소수의 곱으로 유일하게 분해된다는 ‘산술의 기본정리’의 토대를 놓았다. 즉 소인수분해는 “수는 무엇으로 만들어지는가?”라는 근원적 질문에서 태어났다.

핵심 공통인 소인수로 최대공약수·최소공배수를 구한다. $A\times B=(\text{최대공약수})\times(\text{최소공배수})$. 최대공약수가 $1$이면 서로소.

역사 고대 이집트·바빌로니아는 빵이나 토지를 남김없이 공평하게 나누는 분배 문제에서 공약수가 필요했다. 유클리드는 《원론》에서 두 수의 최대공약수를 빠르게 구하는 ‘유클리드 호제법’을 제시했는데, 이는 현존하는 가장 오래된 알고리즘 중 하나로 분수의 약분과 측정 단위 통일에 쓰였다.

핵심 $y=ax\,(a\ne0)$. 그래프는 원점을 지나는 직선.

역사 “양이 두 배면 값도 두 배”라는 비례 관계는 상업의 환율·이자, 건축의 축척, 천문의 비례에서 가장 먼저 쓰인 수학적 관계였다. 유클리드 《원론》 제5권은 통째로 비례론에 바쳐졌을 만큼 고대 수학의 중심이었다.

핵심 $y=\dfrac{a}{x}\,(a\ne0)$. 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선.

역사 아르키메데스의 지렛대 원리(“힘과 팔 길이는 반비례”)처럼, 한쪽이 커지면 다른 쪽이 줄어드는 관계는 일찍부터 관찰되었다. 훗날 보일의 법칙(압력과 부피의 반비례) 등 자연법칙으로 이어진다.

핵심 교점·교선, 직선·반직선·선분, 두 점 사이의 거리. 맞꼭지각은 크기가 같다, 수직·수선·수직이등분선.

역사 ‘기하학(geometry)’은 그리스어로 ‘땅(geo) 측량(metry)’이다. 나일강이 범람할 때마다 사라진 토지 경계를 다시 측량해야 했던 이집트의 실용적 필요에서 시작해, 그리스의 유클리드가 점·선·면을 정의와 공리에서 출발하는 논증 체계로 끌어올렸다.

핵심 평면·공간에서 점·직선·평면의 위치 관계, 평행, 두 직선의 꼬인 위치.

역사 3차원 공간 속 위치 관계에 대한 이해는 신전·피라미드·수로를 짓던 고대 건축가와 측량가에게 필수였다. 평면 위 도형을 넘어 공간을 다루며 입체 기하의 토대가 마련되었다.

핵심 두 직선이 평행이면 동위각·엇각이 각각 같고, 그 역도 성립(평행 조건).

역사 평행선의 성질은 유클리드의 그 유명한 ‘제5공준(평행선 공준)’과 직결된다. 이 공준이 정말 필요한지 2000년간 수학자들이 증명을 시도했고, 결국 19세기에 “그렇지 않은 기하도 가능하다”는 비유클리드 기하학(곡면의 기하)이 탄생하는 출발점이 되었다.

핵심 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도. 삼각형이 하나로 정해지는 조건.

역사 그리스인은 ‘눈금 없는 자와 컴퍼스’만 허용하는 작도를 이상적 기하로 여겼다(플라톤의 영향). 이 제한 때문에 ‘각의 삼등분’ ‘원과 같은 넓이의 정사각형 작도’ 같은 3대 작도 불능 문제가 생겼고, 2000년 뒤 대수학으로 “불가능”이 증명되었다.

핵심 합동 조건 $\text{SSS}$, $\text{SAS}$, $\text{ASA}$.

역사 그리스의 탈레스는 두 삼각형이 ‘합동’임을 이용해 직접 잴 수 없는 배까지의 거리를 알아냈다고 전한다. 모양과 크기가 똑같음을 몇 개의 조건만으로 보장하는 합동은 증명 기하의 가장 기본적인 도구가 되었다.

핵심 내각·외각. $n$각형의 내각의 합 $=180^{\circ}\times(n-2)$, 외각의 합 $=360^{\circ}$, 대각선 개수 $=\dfrac{n(n-3)}{2}$.

역사 다각형의 각과 변에 대한 연구는 신전 바닥·모자이크·성벽 설계 같은 건축과 장식에서 비롯됐다. 그리스 기하학은 정다각형의 작도와 성질을 깊이 탐구했고, 훗날 가우스는 정$17$각형이 자와 컴퍼스로 작도 가능함을 증명해 화제가 되었다.

핵심 호·현·부채꼴. 중심각은 호·넓이에 정비례. 호의 길이 $\ell=2\pi r\cdot\dfrac{x}{360}$, 넓이 $S=\pi r^{2}\cdot\dfrac{x}{360}=\dfrac{1}{2}r\ell$.

역사 바퀴·해시계·천체의 궤도 때문에 원은 가장 중요한 도형이었다. 원의 둘레와 지름의 비 $\pi$를 구하려고 바빌로니아·이집트는 근삿값을 썼고, 아르키메데스는 원에 내접·외접하는 정다각형으로 $\pi$를 $3.14$ 부근으로 정밀하게 가둬 계산하는 방법을 창안했다.

핵심 면의 모양과 개수에 따른 분류, 정다면체는 $5$가지뿐.

역사 플라톤은 정사면체·정육면체 등 5개의 정다면체를 불·흙 같은 우주의 기본 원소와 연결지어 ‘플라톤 입체’로 불린다. 유클리드 《원론》은 마지막 권에서 정다면체가 정확히 다섯 개뿐임을 증명하며 대장정을 마친다.

핵심 평면도형을 축으로 회전한 입체와 그 단면(원·원뿔·구 등).

역사 도자기를 빚는 물레, 기둥을 깎는 선반처럼 ‘축을 중심으로 도는’ 제작 방식이 회전체의 직관을 주었다. 아르키메데스와 카발리에리는 회전체의 부피를 단면으로 분석하는 방법을 발전시켰다.

핵심 기둥·뿔·구의 전개도를 이용한 겉넓이. 구의 겉넓이 $S=4\pi r^{2}$.

역사 그릇을 만들 금속판, 지붕을 덮을 자재의 양을 미리 알아야 했던 실용적 필요가 겉넓이 계산을 낳았다. 아르키메데스는 구의 겉넓이가 그 구를 둘러싼 원기둥의 옆넓이와 같음을 밝혀냈다.

핵심 기둥 $V=Sh$, 뿔 $V=\dfrac{1}{3}Sh$, 구 $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.

역사 곡식 창고와 피라미드의 부피 계산은 고대 행정의 핵심이었다. 아르키메데스는 구의 부피가 외접 원기둥의 $\tfrac{2}{3}$임을 자신의 최대 업적으로 여겨 묘비에 ‘구와 원기둥’을 새겨 달라 했다고 전한다.

핵심 두 밑각의 크기가 같다. 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

역사 유클리드 《원론》 제1권의 다섯 번째 명제(이등변삼각형의 두 밑각이 같다)는 그림이 다리처럼 생겨 중세에 ‘당나귀 다리(pons asinorum)’라 불렸다. 여기서 막히면 더 못 나아간다 하여, 논증 기하의 첫 관문으로 여겨졌다.

핵심 $\text{RHA}$(빗변과 한 예각), $\text{RHS}$(빗변과 다른 한 변).

역사 직각은 건축과 측량에서 가장 중요한 각이었기에, 직각삼각형은 특별히 다뤄졌다. 직각이라는 ‘하나의 강한 조건’ 덕분에 더 적은 정보로도 두 삼각형이 같음을 보장할 수 있다.

핵심 내심은 세 내각의 이등분선의 교점(내접원의 중심), 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점(외접원의 중심).

역사 “세 직선이 신기하게도 한 점에서 만난다”는 사실은 그리스 기하학자들을 매료시켰다. 외심은 세 마을에서 같은 거리의 우물 자리를, 내심은 세 변에 닿는 가장 큰 원을 찾는 등 실용적 의미도 지닌다.

핵심 두 쌍의 대변과 대각이 각각 같고, 두 대각선이 서로를 이등분한다.

역사 평행사변형은 ‘힘의 합성’(평행사변형 법칙)처럼 물리에서도 핵심 도형이다. 유클리드는 평행선의 성질로부터 평행사변형의 여러 성질을 차근차근 증명해 보였다.

핵심 직사각형·마름모·정사각형·사다리꼴의 성질과 사각형들 사이의 포함 관계.

역사 여러 사각형을 ‘무엇이 무엇을 포함하는가’로 분류하는 일은, 대상을 정의와 조건으로 체계화하는 수학적 사고의 좋은 훈련이다. 이런 분류 정신은 훗날 모든 수학 구조를 정의로 묶는 현대 수학으로 이어진다.

핵심 닮음과 닮음비. 대응변의 비가 일정하고 대응각이 같다. 닮음비 $m:n$이면 넓이의 비 $m^{2}:n^{2}$, 부피의 비 $m^{3}:n^{3}$.

역사 탈레스는 막대 그림자와 피라미드 그림자의 비를 이용해, 직접 오를 수 없는 피라미드의 높이를 닮음으로 알아냈다고 전한다. 지도의 축척, 설계도와 실물의 관계가 모두 닮음이며, ‘작은 모형으로 큰 것을 가늠하는’ 인류의 지혜다.

핵심 $\text{SSS}$ 닮음, $\text{SAS}$ 닮음, $\text{AA}$ 닮음.

역사 합동이 ‘완전히 같은’ 도형의 조건이라면, 닮음은 ‘모양만 같은’ 도형의 조건이다. 특히 두 각만 같으면 닮음($\text{AA}$)이라는 사실은, 멀리 있는 대상을 각도만 재서 크기를 추정하는 측량·천문의 핵심 원리다.

핵심 삼각형에서 한 변에 평행한 직선이 나머지 두 변을 같은 비로 나눈다. 평행선 사이의 선분의 길이의 비.

역사 이 성질은 ‘탈레스 정리’로도 불리며, 비례와 닮음을 잇는 다리다. 닿을 수 없는 곳의 거리를 비례로 환산해 재는 측량술의 바탕이 되었다.

핵심 세 중선의 교점이 무게중심이며, 각 중선을 꼭짓점에서부터 $2:1$로 나눈다.

역사 ‘무게중심’은 물리에서 시작된 개념이다. 아르키메데스는 지렛대와 평형을 연구하며 도형이 한 점에서 받쳐 균형을 이루는 자리를 수학적으로 규명했고, 이는 정역학(평형 이론)의 출발점이 되었다.

핵심 순환하지 않는 무한소수인 무리수. 실수 $=$ 유리수 $+$ 무리수이며 수직선을 빈틈없이 채운다.

역사 피타고라스 학파는 “모든 수는 정수의 비”라 믿었으나, 정사각형의 대각선($\sqrt{2}$)이 그렇게 표현될 수 없음(무리수)을 발견하고 큰 충격에 빠졌다(‘제1차 수학의 위기’). 전설에 따르면 이 비밀을 누설한 제자가 바다에 던져졌다고도 한다. 무리수까지 포함한 실수 체계는 19세기 데데킨트·칸토어가 엄밀히 완성했다.

핵심 곱셈 공식 — $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$.

역사 유클리드 《원론》 제2권은 이 곱셈 공식들을 넓이로 증명한다. 예컨대 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$는 한 변이 $a+b$인 정사각형을 네 조각으로 나눈 그림으로 보였다. 이를 ‘기하 대수’라 부른다.

핵심 꼭짓점이 원점, 축이 $y$축인 포물선. $a>0$이면 아래로 볼록, $a<0$이면 위로 볼록, $|a|$가 클수록 폭이 좁다.

역사 포물선은 원뿔을 비스듬히 자른 단면으로, 고대 그리스의 아폴로니우스가 《원뿔곡선론》에서 깊이 연구했다. 빛을 한 점에 모으는 포물면(반사망원경·위성 안테나)의 원리가 바로 이 곡선의 성질이다.

핵심 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 중심에서 같은 거리에 있는 현은 길이가 같다.

역사 고대 천문학자들은 별의 각도를 ‘원의 현의 길이’로 다뤘기에(삼각비의 원조), 현의 성질 연구는 매우 중요했다. 유클리드 《원론》 제3권이 원과 현·접선의 성질을 체계적으로 다룬다.

핵심 원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.

역사 ‘접한다’는 한 점에서 스치듯 만나는 개념은, 곡선의 순간적 방향(접선)을 다루는 미적분의 핵심 아이디어로 자라난다. 원의 접선은 그 가장 단순하고 직관적인 사례다.

핵심 한 호에 대한 원주각은 중심각의 $\dfrac{1}{2}$. 같은 호의 원주각은 크기가 같고, 반원에 대한 원주각은 $90^{\circ}$.

역사 “반원에 그린 삼각형은 항상 직각”이라는 사실은 ‘탈레스의 정리’로 불리며, 그리스 논증 기하의 상징적 결과다. 위치가 달라도 같은 호를 보는 각이 모두 같다는 성질은, 여러 지점에서 본 각으로 위치를 정하는 측량에 쓰인다.

핵심 분배법칙으로 전개한 뒤 동류항을 정리한다. 곱셈 공식 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$, $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$ 등을 활용한다.

역사 $(a+b)^{2}$ 같은 곱셈 공식은 원래 도형의 넓이로 이해되었다. 유클리드 《원론》 2권은 정사각형과 직사각형의 넓이를 쪼개고 붙여 이런 항등식을 ‘기하 대수’로 증명했다. 큰 정사각형을 작은 정사각형 둘과 직사각형 둘로 나누는 그림이 곧 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$이다.

핵심 다항식 $A$를 $B$로 나누면 $A=BQ+R$ ($R$의 차수 $<$ $B$의 차수)로 유일하게 나타난다. 직접 나눗셈, 또는 일차식으로 나눌 때는 조립제법을 쓴다.

역사 “나누어 몫과 나머지를 구한다”는 자연수의 나눗셈(유클리드 호제법)을 다항식으로 옮긴 것이다. 다항식도 정수처럼 나눗셈 정리가 성립한다는 사실은, 수와 식이 같은 대수 구조(환)를 이룬다는 근대 추상대수학의 출발점이 되었다.

핵심 $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$를 $m:n$으로 내분하는 점은 $\left(\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\dfrac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)$. 외분은 $n$ 대신 $-n$을 쓴다. 삼각형의 무게중심도 구할 수 있다.

역사 선분을 일정한 비로 나누는 문제는 고대 그리스의 비례론(유클리드 《원론》 5권)에서 다뤄졌다. 해석기하는 이를 좌표의 가중평균으로 공식화해, 작도 없이 계산만으로 분점을 구할 수 있게 했다.

핵심 참·거짓을 분명히 판별할 수 있는 문장이 명제. 조건 $p,q$에 대한 ‘$p$이면 $q$이다’($p\Rightarrow q$)의 참·거짓은 진리집합의 포함 관계로 판정한다.

역사 참·거짓을 다루는 논리학은 B.C. 4세기 아리스토텔레스의 삼단논법에서 출발했다. 오랫동안 철학의 영역이던 논리가 불과 프레게를 거쳐 ‘기호로 계산되는 수학’이 되면서, 명제는 수학적 증명의 엄밀한 기초가 되었다.

핵심 ‘$p\Rightarrow q$’의 역은 ‘$q\Rightarrow p$’, 대우는 ‘$\sim q\Rightarrow\sim p$’이다. 명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 일치한다.

역사 “결론을 부정하면 가정도 무너진다”는 대우의 원리는 귀류법과 함께 그리스 기하 증명의 핵심 기법이었다. 유클리드는 ‘소수가 무한하다’를 이 방식으로 증명했고, 대우의 동치성은 오늘날에도 증명의 단골 전략이다.

핵심 모든 실수에서 항상 성립하는 부등식. 대표적으로 $a>0,b>0$일 때 산술평균·기하평균의 관계 $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$일 때), 코시–슈바르츠 부등식 등이 있다.

역사 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 사실은 고대 그리스가 비례중항으로 이미 알던 기하학적 진리다. 19세기 코시·슈바르츠가 일반화한 부등식들은 오늘날 해석학과 최적화 이론의 뼈대를 이룬다.

핵심 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴의 함수. $y=\dfrac{k}{x}$의 그래프(직각쌍곡선)를 평행이동한 것으로, 점근선과 정의역(분모 $\ne0$)을 파악한다.

역사 $y=\dfrac{k}{x}$ 같은 반비례 곡선(쌍곡선)은 아폴로니우스의 원뿔곡선 연구에서 이미 등장했다. 해석기하가 이를 분수식의 그래프로 다루면서, 점근선처럼 ‘무한히 가까워지지만 닿지 않는’ 극한 개념의 직관을 길러 주었다.

핵심 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$. 두 변과 그 끼인각을 알 때 나머지 변을, 세 변을 알 때 각을 구한다. $A=90^{\circ}$이면 피타고라스 정리가 된다.

역사 코사인법칙은 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 일반화한 것이다. 그 기하학적 내용은 이미 유클리드 《원론》 2권에 들어 있었고, 훗날 삼각함수가 도입되면서 지금의 간결한 식으로 정리되었다.

핵심 연속함수 $f$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ (미적분의 기본정리). 구간을 잘게 나눈 합(리만 합)의 극한으로 정의된다.

역사 넓이를 ‘잘게 쪼개 더하는’ 발상은 B.C. 3세기 아르키메데스의 구분구적법까지 거슬러 오른다. 그는 포물선과 원의 넓이를 무수히 잘게 나눠 구했고, 2천 년 뒤 뉴턴·라이프니츠가 이를 정적분으로, 19세기 리만이 엄밀한 합의 극한으로 정식화했다.

핵심 구간 $[a,b]$에서 $f(x)\ge0$이면 곡선과 $x$축 사이의 넓이는 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$. 두 곡선 사이의 넓이는 $\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx$.

역사 직선으로 둘러싸이지 않은 곡선 도형의 넓이를 구하는 일(구적, quadrature)은 고대 그리스 이래 수학의 큰 목표였다. 정적분은 곡선 아래 넓이를 ‘무한히 가는 직사각형들의 합’으로 정확히 구해 내며, 이 오랜 문제에 일반적 해법을 주었다.

핵심 평면 위의 한 점(초점)과 한 직선(준선)에 이르는 거리가 같은 점들의 자취. 초점이 $(p,0)$, 준선이 $x=-p$이면 $y^{2}=4px$.

역사 B.C. 3세기 아폴로니우스는 원뿔을 평면으로 자른 단면으로 포물선·타원·쌍곡선을 통합해 《원뿔곡선론》을 남겼다. 2천 년 뒤 갈릴레이는 던진 물체가 포물선을 그린다는 것을, 뉴턴은 포물면 거울이 빛을 한 점에 모은다는 것을 밝혀, 순수기하의 곡선이 자연·기술의 핵심임이 드러났다.

핵심 두 정점(초점)에 이르는 거리의 차의 절댓값이 일정한 점들의 자취. $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$이면 점근선은 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$.

역사 쌍곡선 역시 아폴로니우스의 원뿔곡선 중 하나다. 두 지점에서 받은 신호의 시간 차로 위치를 정하는 쌍곡선 항법(LORAN)과 GPS의 원리가 바로 “거리의 차가 일정한 자취”라는 쌍곡선의 정의에서 나온다.

핵심 공간에서 두 직선은 평행·만남·꼬인 위치 중 하나. 직선과 평면은 포함·평행·한 점에서 만남, 두 평면은 평행·만남(교선) 관계를 가진다. 이면각으로 두 평면이 이루는 각을 잰다.

역사 평면을 벗어나 3차원 공간의 도형을 다루는 입체기하는 유클리드 《원론》 11–13권에서 이미 체계화되었다. 다섯 가지 정다면체(플라톤 입체)가 그 정점으로, 공간을 논리적으로 다루는 전통은 여기서 시작되었다.

핵심 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n}$은 $-1<r\le1$에서만 수렴하고($|r|<1$이면 $0$, $r=1$이면 $1$), 그 밖에서는 발산한다. 공비의 범위로 수렴·발산을 판정한다.

역사 “거북을 따라잡지 못한다”는 제논의 역설은 $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ 같은 무한히 줄어드는 양의 합을 어떻게 볼지의 문제였다. 등비수열의 극한이 $0$에 수렴함을 이해하면서, 인류는 무한을 두려워하지 않고 다룰 수 있게 되었다.

핵심 첫째항 $a$, 공비 $r$인 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$는 $|r|<1$일 때 $\dfrac{a}{1-r}$로 수렴하고, $|r|\ge1$이면 발산한다.

역사 B.C. 3세기 아르키메데스는 포물선으로 잘린 활꼴의 넓이를 구하려고 $1+\tfrac14+\tfrac1{16}+\cdots=\tfrac43$ 같은 무한등비급수의 합을 사실상 계산했다. 극한 개념 없이도 무한합을 다룬 그의 ‘소진법’은 적분의 직접적 선구였다.

핵심 단면적이 $S(x)$인 입체의 부피는 $\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx$이고, 회전체의 부피도 같은 원리로 구한다. 속도 $v(t)$를 적분해 위치·이동 거리를 구한다.

역사 넓이를 적분으로 구하듯, ‘얇은 단면을 무한히 쌓아’ 부피를 구한다. 아르키메데스가 구의 부피를 원기둥·원뿔과 비교해 알아낸 이래, 적분은 곡면으로 둘러싸인 입체의 부피를 일반적으로 계산하는 길을 열었다.

핵심 $ax+by=c$ 꼴의 일차방정식과 그 해, 두 방정식을 묶은 연립방정식.

역사 여러 조건이 동시에 걸린 문제는 미지수가 둘 이상 필요하다. 중국의 《구장산술》 ‘방정(方程)’ 장은 이미 기원 전후에 연립일차방정식을 계수만 네모꼴로 늘어놓고 푸는, 오늘날 행렬·가우스 소거법에 해당하는 방법을 세계 최초로 보여 준다.

핵심 가감법·대입법으로 해를 구하고 활용 문제에 적용.

역사 두 물건의 값, 두 사람의 일량처럼 ‘서로 얽힌 양’을 동시에 알아내려는 교역·노동 문제가 연립방정식의 동기였다. 가우스가 천체 궤도 계산에서 다듬은 소거법은 오늘날 컴퓨터 선형대수의 토대다.

핵심 $\sin A=\dfrac{\text{높이}}{\text{빗변}}$, $\cos A=\dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$, $\tan A=\dfrac{\text{높이}}{\text{밑변}}$. 특수각: $\sin30^{\circ}=\dfrac{1}{2}$, $\sin45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

역사 삼각비는 천문학에서 태어났다. 그리스의 히파르코스는 별의 위치를 계산하려고 ‘현(弦)의 표’를 만들었고, 프톨레마이오스가 《알마게스트》에서 이를 정리했다. 이후 인도 수학자들이 ‘사인’ 개념을 도입하고, 이슬람 천문학자들이 삼각법을 독립된 학문으로 발전시켜 별과 지구를 쟀다.

핵심 삼각비로 변의 길이·높이·거리를 구하고, 삼각형의 넓이 $S=\dfrac{1}{2}ab\sin C$.

역사 각도만 재서 닿을 수 없는 곳까지의 거리와 높이를 알아내는 삼각측량은 지도 제작과 항해의 핵심 기술이었다. 대항해시대의 배들이 별의 각도로 위치를 가늠한 것도, 오늘날 GPS의 원리도 그 뿌리는 삼각비다.

핵심 원주각은 호의 길이에 정비례. 네 점이 한 원 위에 있을 조건, 접선과 현이 이루는 각 $=$ 그 호의 원주각.

역사 네 점이 한 원 위에 놓이는 ‘원에 내접하는 사각형’의 성질은 천문 계산과 측지(땅 측량)에서 활약했다. 프톨레마이오스의 정리 등 정교한 천문 계산이 이러한 원의 성질 위에서 이루어졌다.

핵심 좌표평면에서 일반각 $\theta$의 동경과 단위원의 교점 $(x,y)$에 대해 $\sin\theta=y$, $\cos\theta=x$, $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$. 삼각함수 사이의 관계 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$, $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.

역사 삼각함수는 본래 ‘직각삼각형의 변의 비’가 아니라 원에 그은 현(弦)의 길이에서 출발했다. B.C. 2세기 히파르코스가 천문 관측을 위해 최초의 현표를 만들었고, 인도의 아리아바타(6세기)가 반현(sine)을 도입하면서 오늘날의 사인 개념이 싹텄다.

핵심 행렬 곱 $AB$는 두 변환을 잇따라 적용한 것. 행렬식 $\det(A)$은 변환이 넓이·부피를 몇 배로 키우는지를 나타내며, $0$이면 차원이 찌부러진다.

역사 행렬과 연립방정식 풀이는 기원 전후 중국 《구장산술》의 ‘방정(方程)’에 이미 등장한다. 19세기 케일리가 행렬을 독립된 대수 대상으로 정식화했고, 행렬식이 변환의 부피 배율이라는 기하적 의미가 데이터 변환을 직관적으로 이해하게 해 준다.

핵심 연립일차방정식을 $A\vec{x}=\vec{b}$로 쓰고, 역행렬이 있으면 $\vec{x}=A^{-1}\vec{b}$로 푼다. 선형회귀의 정규방정식이 바로 이 형태다.

역사 《구장산술》의 소거법에서 가우스 소거법으로 이어진 연립방정식 풀이는, 데이터 과학에서 최적의 모델 계수를 한 번에 구하는 닫힌 형태 해(정규방정식)로 되살아난다. 역행렬은 ‘변환을 되돌리는’ 연산으로 회귀·최적화의 핵심 도구다.

핵심 양수·음수와 $0$, 정수와 유리수$\left(\dfrac{(\text{정수})}{(0\text{이 아닌 정수})}\right)$. 수직선, 절댓값 $|a|$, 대소 관계.

역사 분수(유리수)는 이집트가 빵·곡물을 나누는 측량과 분배에서 일찍부터 썼다. 반면 음수는 중국의 《구장산술》(기원 전후)에서 빚과 부족분을 나타내려 ‘음(陰)의 산가지’로 처음 등장했고, 인도의 브라마굽타(7세기)가 “재산과 빚”의 비유로 음수의 연산 규칙을 정립했다. 유럽은 17세기까지도 음수를 ‘거짓 수(false number)’라 부르며 인정하기를 꺼렸다.

핵심 부호 규칙에 따른 덧셈과 교환·결합법칙. 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꿔 더한다: $a-b=a+(-b)$.

역사 “빚에 빚을 더하면 더 큰 빚, 재산에서 빚을 갚으면 재산이 준다”는 상업적 직관이 부호가 있는 수의 덧셈·뺄셈 규칙을 낳았다. 인도와 이슬람 상인들의 회계가 이런 규칙을 실제로 다듬어 갔다.

핵심 같은 부호끼리는 $+$, 다른 부호끼리는 $-$. 교환·결합·분배법칙, 역수. 나눗셈은 역수의 곱셈으로: $a\div b=a\times\dfrac{1}{b}$.

역사 “음수 $\times$ 음수 $=$ 양수”라는 규칙은 수백 년간 논쟁거리였다. 브라마굽타가 규칙을 적었지만, 데카르트·오일러조차 그 ‘이유’를 설명하느라 애를 먹었고, 결국 분배법칙이 모순 없이 성립하려면 그래야 한다는 논리적 일관성 때문에 받아들여졌다.

핵심 항·계수·차수·상수항·동류항. 동류항끼리 모아 덧셈·뺄셈, 분배법칙 $a(b+c)=ab+ac$.

역사 알콰리즈미의 책 제목 《복원(al-jabr)과 대비(al-muqabala)》에서 ‘대수(algebra)’라는 말이 나왔다. ‘복원’은 이항, ‘대비’는 동류항 정리에 해당하니, 식을 정리하는 이 단원의 행위가 바로 대수학의 어원이다.

핵심 이항하여 $ax=b\,(a\ne0)$ 꼴로 정리 후 $x=\dfrac{b}{a}$. 수·나이·거리/속력/시간 등 활용.

역사 등식을 ‘저울의 균형’으로 보고 양변에 같은 조작을 가해 미지수를 분리하는 방법은 알콰리즈미가 체계화했다. 세금·상속·교역 분배 같은 실제 행정·상업 문제가 방정식 풀이의 주된 동기였다.

핵심 인수분해·제곱근·완전제곱식, 근의 공식 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$로 풀고 활용에 적용.

역사 알콰리즈미는 이차방정식을 ‘정사각형을 완성하는’ 기하학적 방법(완전제곱식)으로 풀어 보였다. 이를 일반화한 것이 근의 공식이며, 그 안의 $\sqrt{b^{2}-4ac}$가 음수가 되는 경우를 다루려다 훗날 ‘허수’와 복소수가 탄생하게 된다.

핵심 자료를 대표하는 값 — 평균, 중앙값, 최빈값.

역사 ‘평균’은 본래 천문 관측에서 비롯됐다. 같은 별을 여러 번 재면 값이 조금씩 다른데, 이 관측 오차를 줄이려고 여러 값을 평균내는 방법을 중세 천문학자들이 썼다. 하나의 수로 전체를 대표하려는 요구가 대푯값을 낳았다.

핵심 곱셈 공식을 거꾸로 이용하고, $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$, 인수정리·조립제법으로 고차식을 분해한다. 복잡한 식은 치환과 내림차순 정리가 유용하다.

역사 인수분해는 “수를 소인수로 쪼개듯 식을 더 단순한 식의 곱으로 쪼개는” 일이다. 알콰리즈미(9세기)의 방정식 풀이가 그 뿌리이며, 가우스가 대수학의 기본정리(모든 $n$차 다항식은 복소수 범위에서 일차식들의 곱으로 분해됨)를 증명하며 그 한계를 밝혔다.

핵심 서로 다른 $n$개에서 순서 없이 $r$개를 고르는 경우의 수 $_{n}\mathrm{C}_{r}=\dfrac{_{n}\mathrm{P}_{r}}{r!}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$. $_{n}\mathrm{C}_{r}={}_{n}\mathrm{C}_{n-r}$ 등의 성질이 있다.

역사 조합의 수는 파스칼의 삼각형으로 정리되는데, 이 삼각형은 파스칼보다 훨씬 앞서 중국의 양휘(13세기)와 페르시아 수학자들이 알고 있었다. 이항정리의 계수이자 확률 계산의 핵심으로, 조합은 현대 통계의 토대가 된다.

핵심 삼각형 $ABC$의 외접원 반지름을 $R$라 하면 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$. 한 변과 두 각, 또는 두 변과 한 대각을 알 때 나머지를 구한다.

역사 직접 갈 수 없는 곳까지의 거리를 ‘각도만 재서’ 알아내는 삼각측량의 핵심 도구다. 중세 이슬람 천문학자들이 정교하게 다듬었고, 대항해시대의 항해와 근대의 지도 제작·측지(땅의 측량)가 모두 사인법칙 위에서 이루어졌다.

핵심 $n$개 중 같은 것이 각각 $p,q,\dots$개씩 있을 때 일렬로 나열하는 경우의 수 $\dfrac{n!}{p!\,q!\,\cdots}$.

역사 같은 글자가 섞인 단어의 배열을 세는 이 셈법은 인도 수학의 오랜 전통이다. 이는 곧 다항정리의 계수와 같으며, ‘구별되지 않는 것을 어떻게 셀까’라는 물음은 통계역학에서 입자를 세는 방식으로까지 이어진다.

핵심 수 대신 문자로 수량 관계를 표현. 곱셈 기호 생략($3\times a=3a$), 나눗셈은 분수로($a\div b=\dfrac{a}{b}$).

역사 고대 수학은 문제를 말로 풀어 쓰는 ‘수사적 대수’였다. 그리스의 디오판토스(3세기)가 미지수를 기호로 줄여 쓰기 시작했고, 이슬람의 알콰리즈미(9세기)가 일반적 풀이법을 정리했으며, 16세기 프랑스의 비에트가 알려진 수와 모르는 수를 모두 문자로 나타내면서 비로소 ‘하나의 식으로 모든 경우’를 표현하는 대수학이 완성되었다.

핵심 문자에 수를 대입하여 식의 값을 구한다(예: $x=2$일 때 $3x+1=7$).

역사 ‘대입’은 하나의 공식을 수많은 구체적 상황에 적용하는 힘이다. 천문표·이자표처럼 같은 계산을 값만 바꿔 반복해야 했던 실무에서, 일반식에 수를 넣어 답을 얻는 방식이 큰 효율을 가져왔다.

핵심 순서쌍 $(a,\,b)$, 좌표평면($x$축·$y$축), 점의 좌표, 네 사분면.

역사 17세기 데카르트는 위치를 두 수의 쌍으로 나타내면 도형(기하)을 식(대수)으로 다룰 수 있음을 깨달았다(해석기하학). 그가 침대에 누워 천장의 파리 위치를 두 벽으로부터의 거리로 표현하려 했다는 일화가 유명하다. 페르마도 비슷한 생각을 독립적으로 했다.

핵심 두 양 사이의 관계를 그래프로 나타내고 증가·감소 등을 해석한다.

역사 중세의 오렘(14세기)은 속도가 시간에 따라 변하는 모습을 그림으로 그려 ‘변화’를 시각화했다. 이렇게 양의 변화를 한눈에 보는 그래프는 훗날 과학에서 데이터를 읽는 보편 언어가 되었다.

핵심 자료를 줄기와 잎 그림·도수분포표로 정리. 계급·계급의 크기·도수.

역사 ‘통계(statistics)’는 ‘국가(state)’에서 나온 말로, 국가가 인구·세금·군대를 파악하려 자료를 모은 데서 비롯됐다. 17세기 존 그론트는 런던의 사망 기록을 표로 정리·분석해 ‘인구 통계학’의 문을 열었다.

핵심 유한소수와 무한소수, 순환소수와 순환마디(예: $0.3\dot{1}\dot{2}$).

역사 소수점을 이용한 십진소수 표기는 16세기 플랑드르의 시몬 스테빈이 《소수론(De Thiende)》에서 널리 보급했다. 분수를 소수로 바꾸면 어떤 것은 딱 떨어지고 어떤 것은 같은 마디가 끝없이 반복되는데, 이 ‘순환’의 규칙성을 관찰한 것이 이 단원의 출발이다.

핵심 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있어 유리수이다. 기약분수의 분모의 소인수가 $2$와 $5$뿐이면 유한소수가 된다.

역사 “끝없이 반복되는 소수도 결국 분수다”라는 사실은 무한을 유한한 식으로 다루는 첫 경험이다. 이 발상은 무한히 더하는 합(무한등비급수)을 다루는 후대 미적분학의 사고로 이어진다. 또한 “순환하지 않는 무한소수는 분수가 아니다”라는 인식이 중3의 무리수로 연결된다.

핵심 $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}\,(m>n)$, $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$.

역사 $a\times a\times a$를 $a^{3}$으로 쓰는 거듭제곱 표기는 데카르트(17세기)가 정착시켰다. 천문학에서 다루는 어마어마하게 큰 수를 간결히 적고 계산하려는 필요가 지수 표기를 낳았고, “지수의 덧셈이 곱셈이 된다”는 지수법칙은 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그의 발명(네이피어)으로 이어져 천문 계산을 혁신했다.

핵심 지수법칙을 이용한 단항식의 곱셈과 나눗셈.

역사 문자와 지수를 결합한 식을 자유롭게 곱하고 나누는 능력은, 비에트·데카르트가 다진 ‘기호 대수’ 덕분에 가능해졌다. 복잡한 양도 규칙에 따라 기계적으로 계산할 수 있게 된 것이다.

핵심 다항식의 덧셈·뺄셈(동류항 정리), $(\text{단항식})\times(\text{다항식})$, $(\text{다항식})\div(\text{단항식})$.

역사 여러 항으로 이루어진 식(다항식)을 다루는 기술은 방정식·함수를 일반적으로 연구하기 위한 기초 문법이다. 다항식의 계산이 정비되면서 대수학은 ‘식을 다루는 학문’으로 본격적으로 성장했다.

핵심 부등호로 나타낸 부등식과 그 해. 양수를 곱하면 부등호가 그대로지만, 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다($a<b\Rightarrow-2a>-2b$).

역사 부등호 $<$, $>$ 기호는 17세기 영국의 토머스 해리엇이 도입했다. 세상에는 ‘정확히 같다’보다 ‘이하·이상’으로 표현되는 일이 더 많다(예산은 얼마 이하, 합격은 몇 점 이상). 이런 제약과 한계를 수학으로 표현하려는 요구가 부등식을 낳았다.

핵심 이항하여 $ax>b$ 꼴로 풀고 수직선에 해를 표시. 활용 문제 해결.

역사 “비용을 한도 안에서 최대 효과로”처럼 조건을 만족하는 ‘범위’를 찾는 문제는 경제·공학의 핵심이다. 이러한 부등식 사고는 20세기에 자원을 최적 배분하는 선형계획법으로 발전해 산업 현장을 바꾸었다.

핵심 $y=ax+b\,(a\ne0)$. $y=ax$의 그래프를 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동.

역사 데카르트의 해석기하 덕분에 ‘식’과 ‘그래프’가 하나로 묶였다. 일정한 비율로 변하는 가장 단순한 변화인 일차함수는 직선으로 나타나며, 등속 운동·기본 요금처럼 현실의 ‘일정한 변화’를 모델링하는 첫 도구가 된다.

핵심 일차방정식 $ax+by+c=0$의 그래프는 직선이다.

역사 “방정식은 도형이고, 도형은 방정식이다.” 데카르트가 연 이 다리는 대수와 기하를 통합했다. 식 하나를 평면 위 직선으로 ‘볼 수 있게’ 된 것이 해석기하의 위력이다.

핵심 두 그래프의 교점의 좌표가 연립방정식의 해(평행하면 해 없음, 일치하면 무수히 많음).

역사 ‘식을 푼다(대수)’와 ‘선이 만나는 점을 찾는다(기하)’가 같은 일임을 보여 주는 대표적 장면이다. 해가 없음/하나/무수히 많음을 두 직선의 위치 관계로 직관적으로 이해하게 된다.

핵심 합의 법칙(동시에 일어나지 않을 때 더한다)과 곱의 법칙(잇따라 일어날 때 곱한다).

역사 “일어날 수 있는 경우가 모두 몇 가지인가?”를 빠짐없이·중복 없이 세는 기술이 경우의 수다. 주사위·카드 같은 도박에서 ‘모든 경우’를 세려는 시도가 이 셈법(조합론)을 발전시켰다.

핵심 $(\text{확률})=\dfrac{(\text{사건이 일어나는 경우의 수})}{(\text{모든 경우의 수})}$.

역사 확률론은 1654년 파스칼과 페르마가 주고받은 편지에서 본격 출발했다. 도박을 중간에 멈췄을 때 판돈을 어떻게 공정히 나눌까(‘점수 문제’)를 풀면서, 불확실한 미래를 숫자로 다루는 학문이 탄생했다. 앞서 카르다노도 주사위 확률을 연구했다.

핵심 $\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$. 근호식의 덧셈·뺄셈(동류 근호 정리), 분모의 유리화 $\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}$.

역사 근호 기호 $\sqrt{\phantom{a}}$는 16세기 독일의 루돌프가 라틴어 뿌리(radix)의 머리글자 $r$을 변형해 만들었다고 전한다. 계산기가 없던 시절, ‘분모의 유리화’는 무리수의 나눗셈을 손으로 더 쉽게 계산하기 위한 실용적 기술이었다.

핵심 곱셈 공식을 거꾸로 이용한 인수분해, 공통인수 묶기. 예: $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$.

역사 인수분해는 ‘식을 곱의 꼴로 되돌리는’ 작업으로, 방정식을 푸는 가장 강력한 도구가 된다. “곱이 $0$이면 적어도 한 인수가 $0$”이라는 원리 덕분에, 복잡한 이차·고차 방정식을 단순한 일차식들의 문제로 분해할 수 있다.

핵심 $y=ax^{2}+bx+c\,(a\ne0)$ 꼴로 나타나는 함수.

역사 갈릴레이(17세기)는 비스듬히 던진 물체가 그리는 길이 정확히 포물선임을 밝혀냈다. 자연의 운동을 수식으로 기술하려는 근대 과학의 시도가, 변화가 일정하지 않은 ‘이차’ 관계에 주목하게 했다.

핵심 $y=ax^{2}$를 $x$축으로 $p$, $y$축으로 $q$만큼 평행이동. 꼭짓점 $(p,\,q)$, 축은 $x=p$.

역사 기준이 되는 그래프를 평행이동해 새 그래프를 얻는 발상은, 복잡한 함수를 단순한 원형의 변형으로 이해하는 강력한 사고법이다. 좌표 위에서 도형을 움직이는 이 관점은 데카르트 해석기하의 자연스러운 응용이다.

핵심 완전제곱식 $y=a(x-p)^{2}+q$ 꼴로 고쳐 꼭짓점·축을 구하고, $x$절편·$y$절편으로 그래프를 그린다.

역사 일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 것은 이차방정식 풀이와 똑같은 기술이다. ‘최댓값·최솟값(포물선의 꼭짓점)’을 찾는 이 과정은 다리·포물선 아치 설계, 이윤 극대화 등 최적화 문제의 가장 기초적 형태다.

핵심 동류항끼리 모아 계산하며, 보통 한 문자에 대해 내림차순으로 정리한다. 덧셈에 대해 교환법칙·결합법칙이 성립한다.

역사 다항식을 항을 나란히 늘어놓아 더하고 빼는 ‘기호 대수’는 16–17세기 비에트와 데카르트를 거치며 자리 잡았다. 그 전까지는 식을 문장으로 서술했기에 복잡한 다항식 계산이 사실상 불가능했고, 기호화 덕분에 비로소 식 자체를 ‘계산의 대상’으로 다룰 수 있게 되었다.

핵심 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이 항등식. 양변의 동류항 계수를 비교하거나(계수비교법) 적당한 값을 대입하여(수치대입법) 미지의 계수를 정한다.

역사 ‘모르는 계수를 문자로 두고 조건에서 결정한다’는 미정계수법은 17세기 데카르트의 해석기하와 함께 일반화되었다. 방정식(특정 값에서만 성립)과 항등식(항상 성립)을 구별하는 관점은 대수가 산술에서 독립한 중요한 진전이었다.

핵심 $i^{2}=-1$인 허수단위 $i$. 복소수 $a+bi$의 덧셈·뺄셈·곱셈과 켤레복소수 $\overline{a+bi}=a-bi$. 나눗셈은 분모를 실수화하여 계산한다.

역사 16세기 이탈리아의 카르다노는 삼차방정식을 풀다 $\sqrt{-1}$ 같은 ‘불가능한 수’를 만났고, 봄벨리가 그 계산 규칙을 정리했다. 오랫동안 ‘상상의 수(imaginary)’로 불리며 외면당했지만, 19세기 가우스가 복소평면으로 기하학적 의미를 부여하면서 정식 수로 인정받았다.

핵심 $ax^{2}+bx+c=0$의 판별식 $D=b^{2}-4ac$. $D>0$이면 서로 다른 두 실근, $D=0$이면 중근, $D<0$이면 서로 다른 두 허근.

역사 근의 공식 자체는 바빌로니아·알콰리즈미까지 거슬러 오르지만, 근호 안의 $b^{2}-4ac$가 근의 성질을 판별한다는 관점은 복소수가 인정된 뒤에야 완성되었다. ‘풀기 전에 해의 개수를 안다’는 발상은 이후 방정식론의 전형이 되었다.

핵심 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근 $\alpha,\beta$에 대해 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. 거꾸로 두 수를 근으로 하는 이차방정식도 세울 수 있다.

역사 16세기 프랑스의 비에트는 근과 계수 사이의 이 대칭적 관계를 처음 일반적으로 밝혔다. 근을 직접 구하지 않고도 근들의 합과 곱을 알 수 있다는 통찰은, 갈루아의 군론과 ‘대칭함수’ 이론으로 이어졌다.

핵심 이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표가 $ax^{2}+bx+c=0$의 실근이다. 판별식의 부호로 교점의 개수가 정해진다.

역사 방정식(식)과 함수의 그래프(도형)를 잇는 다리는 17세기 데카르트와 페르마의 해석기하다. ‘$ax^{2}+bx+c=0$을 푼다’는 대수 문제가 ‘포물선이 $x$축과 어디서 만나는가’라는 기하 문제와 같다는 발견은 수학을 근본적으로 바꿨다.

핵심 $y=a(x-p)^{2}+q$로 표준형 변형하면 꼭짓점 $(p,q)$에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다. 정의역이 제한되면 양 끝값도 함께 비교한다.

역사 “언제 가장 크거나 작아지는가”라는 최적화 문제는 17세기 갈릴레이의 포물선 운동 연구에서 절정에 달했다. 던진 물체가 그리는 포물선의 꼭짓점이 최고 높이라는 사실은, 이차함수의 최대·최소가 자연을 기술하는 언어임을 보여 준다.

핵심 인수정리와 조립제법으로 인수분해하여 푼다. $x^{3}=1$ 같은 방정식의 허근(1의 세제곱근 $\omega$) 등 복소수 범위의 근까지 다룬다.

역사 삼차·사차방정식의 일반 해법은 16세기 이탈리아 수학자들(타르탈리아·카르다노·페라리)이 치열한 대결 끝에 찾아냈다. 그런데 오차방정식은 아무리 해도 일반 근의 공식이 나오지 않았고, 이 수수께끼가 아벨과 갈루아의 군론으로 풀렸다.

핵심 일차식과 이차식, 또는 두 이차식으로 이루어진 연립방정식. 대입법·인수분해·상수항 소거 등으로 해를 구한다.

역사 두 곡선이 만나는 점을 구하는 일은 곧 연립방정식 풀이다. 고대 그리스가 원뿔곡선의 교점을 작도로 다루던 문제를, 해석기하는 식의 연립으로 바꿔 계산만으로 풀 수 있게 했다.

핵심 여러 일차부등식을 동시에 만족하는 $x$의 범위. 각 부등식의 해를 수직선에서 겹치는 공통부분으로 구한다.

역사 부등호 $<,>$는 17세기 영국의 해리엇이 도입했다. ‘정확히 같은 값’이 아니라 범위·한계를 다루는 부등식은, 자원이 제한된 현실 문제(최대 생산·최소 비용)를 수학으로 옮기는 데 필수였다.

핵심 $ax^{2}+bx+c>0$ 등은 대응하는 이차함수의 그래프가 $x$축의 위·아래에 있는 구간으로 해를 구한다. 판별식과 근의 위치가 핵심이다.

역사 이차부등식의 해를 ‘포물선이 $x$축 위에 있는 구간’으로 읽는 방식은 해석기하의 직접적 산물이다. 그래프로 부등식을 본다는 관점은 추상적인 식을 직관적인 그림 문제로 바꿔 준다.

핵심 좌표평면 위 두 점 $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는 $\overline{AB}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$이다. 피타고라스 정리에서 나온다.

역사 데카르트가 도형에 좌표를 붙인 순간, ‘두 점 사이 거리’ 같은 기하량이 좌표의 계산으로 바뀌었다. 피타고라스 정리(B.C. 6세기)가 좌표평면에서 거리 공식으로 되살아난 것으로, 기하와 대수의 결합을 가장 단순하게 보여 준다.

핵심 기울기 $m$과 한 점 $(x_{1},y_{1})$이 주어지면 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$. 두 점·절편 등 조건에 따라 일차식 $ax+by+c=0$으로 나타낸다.

역사 ‘직선’이라는 도형과 ‘일차식’이라는 식이 하나로 이어진 것은 17세기 해석기하의 핵심 성과다. 14세기 오렘이 양을 그래프로 그린 시도를 데카르트가 좌표축으로 완성하면서, 모든 직선이 일차방정식으로 표현되었다.

핵심 두 직선이 평행하면 기울기가 같고($m_{1}=m_{2}$), 수직이면 기울기의 곱이 $-1$이다($m_{1}m_{2}=-1$).

역사 평행과 수직이라는 ‘눈으로 보는 관계’를 기울기라는 수로 판정하는 것은 해석기하의 묘미다. 유클리드가 공준으로 다룬 평행선이, 좌표평면에서는 ‘기울기가 같다’는 한 줄의 식으로 환원된다.

핵심 점 $(x_{1},y_{1})$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$이다.

역사 ‘점에서 직선에 내린 수선의 길이’를 작도 없이 식으로 단번에 구하는 이 공식은, 기하 문제를 대수 계산으로 완전히 대체한 해석기하의 상징이다. 오늘날 컴퓨터 그래픽스와 최적화에서 핵심적으로 쓰인다.

핵심 중심 $(a,b)$, 반지름 $r$인 원은 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$. 전개하면 $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ 꼴이 된다.

역사 원은 고대부터 가장 완전한 도형으로 여겨졌다. 아폴로니우스(B.C. 3세기)가 원뿔곡선으로 깊이 연구했고, 데카르트의 좌표가 ‘중심에서 같은 거리’라는 원의 정의를 거리 공식으로 옮겨 간결한 방정식으로 만들었다.

핵심 원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$와 반지름 $r$를 비교한다. $d<r$이면 두 점에서 만나고, $d=r$이면 접하며, $d>r$이면 만나지 않는다. 판별식으로도 판정한다.

역사 접선(꼭 한 점에서 스치는 직선)은 그리스 기하의 오랜 주제였다. 해석기하는 ‘중심-직선 거리 $=$ 반지름’이라는 거리 조건으로 접함을 간단히 판정해, 미적분의 접선 개념으로 가는 길을 닦았다.

핵심 일대일대응 $f$에 대해 대응을 거꾸로 한 $f^{-1}$. $y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$이며, 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이다.

역사 ‘되돌리는’ 연산은 뺄셈이 덧셈을, 나눗셈이 곱셈을 되돌리듯 수학의 보편적 주제다. 로그가 지수의 역함수로 정의되면서, 역함수는 계산을 뒤집어 새로운 함수를 만드는 강력한 도구임이 드러났다.

핵심 동시에 일어나지 않으면 더하고(합의 법칙), 잇따라 일어나면 곱한다(곱의 법칙). 모든 순열·조합 계산의 기본 원리다.

역사 경우의 수를 따지는 일은 도박과 함께 자랐다. 17세기 파스칼과 페르마가 도박의 분배 문제를 두고 주고받은 편지에서 확률론이 태어났고, 그 바탕에 ‘몇 가지 경우가 있는가’를 빠짐없이·중복 없이 세는 셈법이 있었다.

핵심 거듭제곱근과 지수의 확장. $a>0$이고 $m,n$이 정수일 때 $a^{0}=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$. 지수법칙 $a^{x}a^{y}=a^{x+y}$, $(a^{x})^{y}=a^{xy}$가 유리수·실수 지수로 확장된다.

역사 처음 지수는 ‘같은 수를 몇 번 곱하는가’라는 자연수만의 셈이었다. 17세기 데카르트가 $a^{3}$ 같은 위첨자 표기를 정착시켰고, 뉴턴과 오일러를 거치며 지수가 음수·분수·무리수까지 확장되면서 ‘곱셈의 반복’을 넘어 연속적인 함수로 자라났다.

핵심 $a>0,\ a\ne1,\ N>0$일 때 $a^{x}=N\Leftrightarrow x=\log_{a}N$. 로그의 성질 $\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$, $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$, 밑변환 $\log_{a}b=\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$.

역사 16–17세기 스코틀랜드의 네이피어는 천문학자들의 고된 곱셈을 덧셈으로 바꾸려고 로그를 발명했다(1614). “큰 수의 곱셈을 작은 수의 덧셈으로” 바꾸는 이 도구는 항해·천문 계산의 부담을 획기적으로 줄여, 케플러의 행성 연구에도 결정적으로 쓰였다.

핵심 밑이 $10$인 로그 $\log_{10}N$을 상용로그라 하고 보통 밑을 생략해 $\log N$으로 쓴다. 정수 부분(지표)과 소수 부분(가수)으로 자릿수와 첫 숫자를 가늠한다.

역사 네이피어의 동료 헨리 브리그스는 밑을 $10$으로 잡으면 십진법과 맞아 계산이 편하다는 점에 착안해 상용로그표를 만들었다. 이 표와 계산자(slide rule)는 전자계산기가 나오기 전까지 300년 넘게 공학자의 필수 도구였다.

핵심 자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수에서 참임을 보이는 방법. ① $p(1)$이 참이고, ② $p(k)$가 참이면 $p(k+1)$도 참임을 보이면 된다.

역사 “첫 도미노가 쓰러지고, 어떤 도미노가 쓰러지면 다음 것도 쓰러진다”면 모든 도미노가 쓰러진다 — 이것이 수학적 귀납법이다. 16세기 마우롤리코와 17세기 파스칼이 무한히 많은 경우를 단 두 단계로 증명하는 이 강력한 논법을 확립했다.

핵심 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$. 기울기나 지나는 점이 주어진 접선도 미분계수로 구한다.

역사 곡선에 닿는 접선을 구하는 문제는 데카르트·페르마가 미적분 이전부터 씨름하던 난제였다. 페르마의 접선·극값 방법은 사실상 미분의 선구였으며, 뉴턴과 라이프니츠가 이를 극한으로 일반화하면서 모든 곡선에 통하는 방법이 완성되었다.

핵심 $f'(x)>0$이면 증가, $f'(x)<0$이면 감소. $f'(x)$의 부호가 바뀌는 곳에서 극대·극소를 가진다. 증감표를 그려 그래프의 개형을 파악한다.

역사 “언제 가장 크거나 작아지는가”라는 최적화 문제를 미분이 단번에 해결했다. 17세기 페르마는 극값에서 변화율이 0이 된다는 원리를 간파했고, 이는 오늘날 경제학의 이윤 극대화부터 공학 설계까지 모든 최적화의 기본 도구가 되었다.

핵심 속도 $v(t)$로 움직이는 점이 시각 $a$부터 $b$까지 움직인 거리·위치 변화는 $\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt$. 속도가 음수인 구간을 고려하면 실제 이동 거리는 $\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt$.

역사 ‘속도를 적분하면 거리가 된다’는 미분(거리→속도)의 정확한 역과정이다. 갈릴레이가 속도-시간 그래프 아래 넓이로 낙하 거리를 가늠한 통찰을, 적분이 미적분의 기본정리로 엄밀하게 뒷받침하며 물리학의 기본 언어가 되었다.

핵심 두 정점(초점)에 이르는 거리의 합이 일정한 점들의 자취. $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b>0)$이면 초점은 $(\pm c,0)$, $c^{2}=a^{2}-b^{2}$.

역사 아폴로니우스가 원뿔곡선의 하나로 다룬 타원은, 17세기 케플러가 행성이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다는 제1법칙을 발견하며 우주의 법칙으로 떠올랐다. 고대의 추상적 곡선이 천체의 운동을 정확히 기술한 극적인 사례다.

핵심 이차곡선과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식 $D$로 판정한다. $D>0$이면 두 점에서, $D=0$이면 접하고, $D<0$이면 만나지 않는다.

역사 곡선과 직선이 만나는지를 ‘식을 연립해 판별식으로’ 따지는 방법은 17세기 데카르트의 해석기하가 준 선물이다. 고대에는 작도로 일일이 확인해야 했던 위치 관계를, 좌표와 대수가 계산 한 번으로 결정해 준다.

핵심 기울기 $m$이 주어진 접선은 판별식 $D=0$ 조건으로, 곡선 위의 점에서의 접선은 공식(예: $y^{2}=4px$ 위 점 $(x_{1},y_{1})$에서 $y_{1}y=2p(x+x_{1})$)으로 구한다.

역사 원뿔곡선의 접선은 빛의 반사와 깊이 연관된다. 포물면은 평행한 빛을 초점에 모으고(반사망원경·위성안테나), 타원면은 한 초점의 소리를 다른 초점에 모은다(속삭이는 회랑). 접선의 성질이 이런 반사의 기하학을 지배한다.

핵심 평면 밖의 점에서 평면과 평면 위 직선에 내린 수선들 사이의 직교 관계가 삼수선의 정리. 도형을 평면에 수직으로 비춘 그림자가 정사영이며, 그 넓이는 $S'=S\cos\theta$.

역사 그림자(정사영)로 입체를 평면에 옮기는 발상은 르네상스 화가들의 원근법과 이어진다. 데자르그가 이를 사영기하학으로 발전시켰고, 정사영은 오늘날 제도(설계도)와 3차원 그래픽스의 평면 투영에 그대로 쓰인다.

핵심 서로 수직인 세 좌표축으로 점을 $(x,y,z)$로 나타낸다. 두 점 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$, $B(x_{2},y_{2},z_{2})$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$.

역사 데카르트의 평면좌표를 한 축 더 늘려 공간으로 확장한 것이다. 거리 공식이 피타고라스 정리를 3차원으로 자연스럽게 일반화하듯, 좌표는 차원에 구애받지 않고 적용된다 — 이 보편성이 훗날 4차원 이상의 추상 공간으로 가는 길을 열었다.

핵심 중심 $(a,b,c)$, 반지름 $r$인 구는 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$. 평면에서의 원의 방정식을 공간으로 확장한 것이다.

역사 원이 평면에서 ‘중심에서 같은 거리’이듯, 구는 공간에서 같은 정의를 가진다. 좌표가 한 차원 늘 때 방정식에 항이 하나 더 붙을 뿐이라는 규칙성은, 수학이 차원을 넘어 일관되게 작동함을 보여 주는 단적인 예다.

핵심 수열의 항을 무한히 더한 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$. 부분합 $S_{n}$의 극한이 존재하면 수렴한다. 급수가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$이다(역은 성립하지 않음).

역사 14세기 인도 케랄라 학파의 마다바는 $\pi$와 삼각함수를 무한급수로 나타내, 뉴턴·라이프니츠보다 300년 앞서 무한급수에 다가갔다. 무한히 더해도 유한한 값이 된다는 발견은 훗날 미적분의 핵심 도구가 되었다.

핵심 서로 다른 $n$개를 원형으로 배열하는 경우의 수는 $(n-1)!$. 회전하여 같아지는 것을 하나로 보기 때문에 $\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$이 된다.

역사 순서를 따지는 셈은 17세기 파스칼·페르마의 조합론에서 체계화되었지만, 원형 배열·목걸이처럼 ‘돌리거나 뒤집어 같아지는’ 대칭을 세는 문제는 더 미묘하다. 이런 대칭의 셈은 훗날 군론과 조합론이 만나는 자리가 되었다.

핵심 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락해 $r$개를 택해 나열하는 경우의 수 $_{n}\Pi_{r}=n^{r}$.

역사 비밀번호나 모스 부호처럼 ‘같은 것을 또 써도 되는’ 배열의 셈이다. $n^{r}$이라는 폭발적 증가는 정보의 양을 가늠하는 척도가 되어, 자릿수와 경우의 수로 정보를 재는 현대 정보이론의 직관과 맞닿는다.

핵심 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락해 순서 없이 $r$개를 택하는 경우의 수 $_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}$.

역사 “사탕 $r$개를 $n$종류에서 고르기”처럼 중복을 허락해 ‘묶음으로’ 고르는 셈이다. 칸막이와 공으로 바꿔 세는 기발한 방법(작대기와 별)은, 겉보기에 다른 문제를 같은 구조로 바꾸는 조합론적 사고의 묘미를 보여 준다.

핵심 $(a+b)^{n}=\displaystyle\sum_{r=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,a^{n-r}b^{r}$. 계수 $_{n}\mathrm{C}_{r}$가 파스칼의 삼각형을 이룬다.

역사 $(a+b)^{n}$의 전개 계수가 조합의 수라는 이항정리는, 13세기 중국 양휘와 페르시아 수학자들이 알던 파스칼의 삼각형으로 정리된다. 뉴턴은 이를 지수가 분수·음수인 경우까지 일반화해(일반화 이항정리) 미적분의 무한급수로 이어 갔다.

핵심 표본공간 $S$에서 사건 $A$의 확률 $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$ (수학적 확률). 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

역사 확률이 학문이 된 것은 1654년, 도박꾼의 질문을 받은 파스칼과 페르마의 편지 교환에서다. ‘중단된 도박의 판돈을 어떻게 나눌까’라는 문제를 풀며, 우연을 수로 다루는 확률론이 탄생했다.

핵심 거듭제곱 $a^{x}$와 그 역연산인 로그 $\log_{a}N$. 로그의 성질 $\log MN=\log M+\log N$으로 곱셈을 덧셈으로 바꿔, 큰 수의 계산과 스케일 압축에 쓴다.

역사 16–17세기 네이피어가 천문 계산의 곱셈을 덧셈으로 바꾸려 로그를 발명했다. 데이터 과학에서 로그는 수십 배씩 차이 나는 값(소득·조회수·우도)을 다루기 좋게 ‘압축’하고, 곱으로 누적되는 확률을 더하기 쉬운 로그우도로 바꾸는 데 핵심적으로 쓰인다.

핵심 확률은 ‘원인(모형)에서 결과(데이터)의 가능성’을 예측하고, 통계는 ‘관측된 데이터에서 원인(모형)’을 추론한다. 서로 역방향이다.

역사 확률과 통계는 동전의 양면이다. 17세기 도박 문제에서 태어난 확률은 ‘완벽히 아는 세계의 우연’을 다뤘고, 통계는 ‘불완전한 데이터로 세계를 추측’한다. 데이터 과학은 이 둘을 오가며, 확률 모형을 세우고 데이터로 그 모수를 추정한다.

핵심 두 사건이 함께 일어날 결합확률 $P(A\cap B)$, 적어도 하나가 일어날 합사건 확률 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. 독립이면 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

역사 ‘그리고(AND)’는 곱하고 ‘또는(OR)’은 더한다는 규칙은 17세기 파스칼·페르마의 확률론에서 정립되었다. 데이터 과학에서 여러 특성을 결합해 확률을 계산하는 모든 모형(나이브 베이즈 등)이 이 기본 규칙 위에 서 있다.

핵심 $x$값 하나에 $y$값 하나가 대응하는 함수, 함숫값 $f(x)$.

역사 ‘함수(function)’라는 용어는 라이프니츠가 쓰기 시작했고, $f(x)$ 표기는 오일러가 도입했다. 행성의 운동, 떨어지는 물체처럼 하나의 양이 다른 양에 따라 변하는 자연 현상을 기술하려는 근대 과학의 요구가 함수 개념을 키웠다.

핵심 기울기 $a=\dfrac{(y\text{의 증가량})}{(x\text{의 증가량})}$, $y$절편 $b$, $x$절편. 기울기와 한 점, 또는 두 점으로 식을 구한다.

역사 ‘기울기’는 곧 변화의 빠르기(변화율)다. 속도(거리의 변화율)를 다루던 근대 물리학의 문제의식이 이 개념을 키웠고, 변화율을 더 깊이 파고든 결과가 뉴턴·라이프니츠의 미분이다. 일차함수의 기울기는 미분의 가장 단순한 형태다.

핵심 $0\le p\le1$. 여사건의 확률 $=1-p$. 사건의 덧셈·곱셈으로 확률 계산.

역사 라플라스는 확률을 ‘동등하게 가능한 경우의 비율’로 명료하게 정의하고, 천문·보험·재판 등에 적용했다. 도박에서 출발한 확률은 이렇게 보험·통계·과학의 의사결정 도구로 확장되었다.

핵심 다항식 $f(x)$를 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$이다(나머지정리). 특히 $f(a)=0$이면 $x-a$가 $f(x)$의 인수이다(인수정리).

역사 프랑스의 베주(18세기) 등이 정리한 이 정리는, 나눗셈을 실제로 하지 않고 한 번의 대입만으로 나머지를 알아내는 강력한 도구다. 고차방정식의 근을 찾는 실마리를 제공해, 방정식 풀이의 역사에서 핵심 역할을 했다.

핵심 집합 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응하는 관계가 함수 $f:X\to Y$. 정의역·공역·치역, 일대일함수와 일대일대응을 구분한다.

역사 ‘함수(function)’라는 말은 17세기 라이프니츠가 처음 썼고, 18세기 오일러가 기호 $f(x)$를 정착시켰다. 처음엔 ‘식으로 쓸 수 있는 것’이었지만, 디리클레(19세기)가 ‘대응 규칙’으로 정의를 넓히며 현대적 함수 개념이 완성되었다.

핵심 $y=a^{x}$ $(a>0,\ a\ne1)$. $a>1$이면 증가, $0<a<1$이면 감소하며, 점 $(0,1)$을 지나고 $x$축을 점근선으로 한다. 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수.

역사 지수함수는 일정 비율로 늘거나 주는 모든 현상의 언어다. 인구 증가, 복리 이자, 방사성 붕괴가 모두 지수함수를 따른다. 오일러는 그 변화율이 자기 자신에 비례하는 특별한 밑 $e$를 발견해, 지수함수를 미적분의 심장에 올려놓았다.

핵심 $y=\log_{a}x$는 지수함수 $y=a^{x}$의 역함수로, 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이다. 점 $(1,0)$을 지나고 $y$축을 점근선으로 하며, 정의역은 양의 실수.