05 원의 성질

핵심 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 중심에서 같은 거리에 있는 현은 길이가 같다.

역사 고대 천문학자들은 별의 각도를 ‘원의 현의 길이’로 다뤘기에(삼각비의 원조), 현의 성질 연구는 매우 중요했다. 유클리드 《원론》 제3권이 원과 현·접선의 성질을 체계적으로 다룬다.

핵심 원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다.

역사 ‘접한다’는 한 점에서 스치듯 만나는 개념은, 곡선의 순간적 방향(접선)을 다루는 미적분의 핵심 아이디어로 자라난다. 원의 접선은 그 가장 단순하고 직관적인 사례다.

핵심 한 호에 대한 원주각은 중심각의 $\dfrac{1}{2}$. 같은 호의 원주각은 크기가 같고, 반원에 대한 원주각은 $90^{\circ}$.

역사 “반원에 그린 삼각형은 항상 직각”이라는 사실은 ‘탈레스의 정리’로 불리며, 그리스 논증 기하의 상징적 결과다. 위치가 달라도 같은 호를 보는 각이 모두 같다는 성질은, 여러 지점에서 본 각으로 위치를 정하는 측량에 쓰인다.

핵심 원주각은 호의 길이에 정비례. 네 점이 한 원 위에 있을 조건, 접선과 현이 이루는 각 $=$ 그 호의 원주각.

역사 네 점이 한 원 위에 놓이는 ‘원에 내접하는 사각형’의 성질은 천문 계산과 측지(땅 측량)에서 활약했다. 프톨레마이오스의 정리 등 정교한 천문 계산이 이러한 원의 성질 위에서 이루어졌다.