01 지수함수와 로그함수

핵심 거듭제곱근과 지수의 확장. $a>0$이고 $m,n$이 정수일 때 $a^{0}=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$, $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$. 지수법칙 $a^{x}a^{y}=a^{x+y}$, $(a^{x})^{y}=a^{xy}$가 유리수·실수 지수로 확장된다.

역사 처음 지수는 ‘같은 수를 몇 번 곱하는가’라는 자연수만의 셈이었다. 17세기 데카르트가 $a^{3}$ 같은 위첨자 표기를 정착시켰고, 뉴턴과 오일러를 거치며 지수가 음수·분수·무리수까지 확장되면서 ‘곱셈의 반복’을 넘어 연속적인 함수로 자라났다.

핵심 $a>0,\ a\ne1,\ N>0$일 때 $a^{x}=N\Leftrightarrow x=\log_{a}N$. 로그의 성질 $\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$, $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M$, 밑변환 $\log_{a}b=\dfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$.

역사 16–17세기 스코틀랜드의 네이피어는 천문학자들의 고된 곱셈을 덧셈으로 바꾸려고 로그를 발명했다(1614). “큰 수의 곱셈을 작은 수의 덧셈으로” 바꾸는 이 도구는 항해·천문 계산의 부담을 획기적으로 줄여, 케플러의 행성 연구에도 결정적으로 쓰였다.

핵심 밑이 $10$인 로그 $\log_{10}N$을 상용로그라 하고 보통 밑을 생략해 $\log N$으로 쓴다. 정수 부분(지표)과 소수 부분(가수)으로 자릿수와 첫 숫자를 가늠한다.

역사 네이피어의 동료 헨리 브리그스는 밑을 $10$으로 잡으면 십진법과 맞아 계산이 편하다는 점에 착안해 상용로그표를 만들었다. 이 표와 계산자(slide rule)는 전자계산기가 나오기 전까지 300년 넘게 공학자의 필수 도구였다.

핵심 $y=a^{x}$ $(a>0,\ a\ne1)$. $a>1$이면 증가, $0<a<1$이면 감소하며, 점 $(0,1)$을 지나고 $x$축을 점근선으로 한다. 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수.

역사 지수함수는 일정 비율로 늘거나 주는 모든 현상의 언어다. 인구 증가, 복리 이자, 방사성 붕괴가 모두 지수함수를 따른다. 오일러는 그 변화율이 자기 자신에 비례하는 특별한 밑 $e$를 발견해, 지수함수를 미적분의 심장에 올려놓았다.

핵심 $y=\log_{a}x$는 지수함수 $y=a^{x}$의 역함수로, 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이다. 점 $(1,0)$을 지나고 $y$축을 점근선으로 하며, 정의역은 양의 실수.

역사 로그함수는 지수함수를 거울에 비춘 모습이다. ‘몇 배가 되었나’가 아니라 ‘몇 제곱인가’를 재기에, 별의 밝기(등급)·소리의 세기(데시벨)·지진 규모(리히터)·산성도(pH)처럼 수십 배씩 차이 나는 양을 다루기에 알맞아 자연과학 곳곳에 쓰인다.