02 삼각함수

핵심 시초선에서 회전한 양을 부호와 함께 나타낸 일반각. 반지름과 호의 길이가 같을 때의 중심각을 $1$ 라디안으로 삼는 호도법을 쓰면 $180^{\circ}=\pi$ 라디안. 부채꼴의 호의 길이 $l=r\theta$, 넓이 $S=\dfrac{1}{2}r^{2}\theta$.

역사 각을 $360$등분하는 도(度)는 바빌로니아의 60진법과 1년 약 360일에서 왔다. 반면 호도법(라디안)은 18세기 이후 자리 잡았는데, 각을 ‘호의 길이’라는 순수한 수로 재기에 미적분에서 삼각함수의 도함수가 가장 깔끔해진다.

핵심 좌표평면에서 일반각 $\theta$의 동경과 단위원의 교점 $(x,y)$에 대해 $\sin\theta=y$, $\cos\theta=x$, $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$. 삼각함수 사이의 관계 $\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$, $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.

역사 삼각함수는 본래 ‘직각삼각형의 변의 비’가 아니라 원에 그은 현(弦)의 길이에서 출발했다. B.C. 2세기 히파르코스가 천문 관측을 위해 최초의 현표를 만들었고, 인도의 아리아바타(6세기)가 반현(sine)을 도입하면서 오늘날의 사인 개념이 싹텄다.

핵심 $y=\sin x$, $y=\cos x$는 주기 $2\pi$, $y=\tan x$는 주기 $\pi$인 주기함수. 진폭·주기·평행이동에 따라 $y=a\sin(bx+c)+d$ 꼴로 변형된다.

역사 삼각함수의 물결 모양 그래프는 주기적으로 되풀이되는 모든 것의 본보기다. 18–19세기 푸리에는 어떤 복잡한 진동도 사인·코사인 곡선들의 합으로 분해할 수 있음을 보였고(푸리에 급수), 이는 소리·빛·전기 신호 분석의 토대가 되었다.

핵심 삼각형 $ABC$의 외접원 반지름을 $R$라 하면 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$. 한 변과 두 각, 또는 두 변과 한 대각을 알 때 나머지를 구한다.

역사 직접 갈 수 없는 곳까지의 거리를 ‘각도만 재서’ 알아내는 삼각측량의 핵심 도구다. 중세 이슬람 천문학자들이 정교하게 다듬었고, 대항해시대의 항해와 근대의 지도 제작·측지(땅의 측량)가 모두 사인법칙 위에서 이루어졌다.

핵심 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$. 두 변과 그 끼인각을 알 때 나머지 변을, 세 변을 알 때 각을 구한다. $A=90^{\circ}$이면 피타고라스 정리가 된다.

역사 코사인법칙은 피타고라스 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 일반화한 것이다. 그 기하학적 내용은 이미 유클리드 《원론》 2권에 들어 있었고, 훗날 삼각함수가 도입되면서 지금의 간결한 식으로 정리되었다.