03 수열

핵심 이웃한 두 항의 차(공차 $d$)가 일정한 수열. 일반항 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$, 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_{n}=\dfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$.

역사 어린 가우스가 $1$부터 $100$까지를 순식간에 더해 $5050$을 답했다는 일화는 등차수열의 합을 양 끝을 짝지어 구하는 발상을 보여 준다. 이런 합의 셈은 고대 바빌로니아·이집트의 분배와 측량에서부터 쓰였다.

핵심 이웃한 두 항의 비(공비 $r$)가 일정한 수열. 일반항 $a_{n}=a_{1}r^{n-1}$, 합 $S_{n}=\dfrac{a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}$ $(r\ne1)$.

역사 “체스판의 첫 칸에 쌀 한 톨, 다음 칸에 두 톨, 그다음 네 톨…”이라는 옛이야기는 등비수열의 폭발적 증가를 보여 준다. 린드 파피루스(B.C. 1650)에도 등비수열 문제가 있으며, 복리 이자와 인구 모형이 모두 이 수열을 따른다.

핵심 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$. 자연수의 거듭제곱의 합 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$, $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 등을 이용한다.

역사 합을 뜻하는 기호 $\Sigma$(시그마)는 그리스 문자 ‘S(sum)’에서 따와 18세기 오일러가 도입했다. 여러 항을 한 기호로 압축하는 이 표기 덕분에, 길게 늘어놓아야 했던 합을 간결하게 다루고 일반적인 공식을 세울 수 있게 되었다.

핵심 분수꼴 수열은 부분분수 $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$로 분해하면 중간 항이 소거되어(망원급수) 합이 간단해진다. 등차$\times$등비 꼴은 $S-rS$를 이용한다.

역사 가운데 항들이 차례로 지워지며 양 끝만 남는 ‘망원경처럼 접히는 합(telescoping sum)’의 아이디어는, 무한히 더해도 일정한 값에 수렴하는 무한급수 연구로 이어졌다. 이는 미적분의 적분 개념과 맞닿아 있다.

핵심 자연수 $n$에 대한 명제 $p(n)$이 모든 자연수에서 참임을 보이는 방법. ① $p(1)$이 참이고, ② $p(k)$가 참이면 $p(k+1)$도 참임을 보이면 된다.

역사 “첫 도미노가 쓰러지고, 어떤 도미노가 쓰러지면 다음 것도 쓰러진다”면 모든 도미노가 쓰러진다 — 이것이 수학적 귀납법이다. 16세기 마우롤리코와 17세기 파스칼이 무한히 많은 경우를 단 두 단계로 증명하는 이 강력한 논법을 확립했다.