01 함수의 극한과 연속

핵심 $x$가 $a$에 한없이 가까워질 때 $f(x)$가 일정한 값 $L$에 가까워지면 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L$. 좌극한과 우극한이 같아야 극한이 존재한다.

역사 ‘한없이 가까워진다’는 극한의 직관은 B.C. 5세기 제논의 역설(아킬레스와 거북)에서 이미 문제로 떠올랐다. 오랫동안 모호했던 이 개념을 19세기 코시와 바이어슈트라스가 엄밀히 정의하면서, 미적분이 비로소 튼튼한 논리 위에 서게 되었다.

핵심 극한의 사칙연산 성질을 이용한다. $\dfrac{0}{0}$ 꼴은 인수분해·유리화·약분으로 변형하고, 함수의 대소 관계를 이용하는 샌드위치 정리도 쓴다.

역사 $\dfrac{0}{0}$ 같은 ‘꼴이 정해지지 않는 극한(부정형)’을 어떻게 다룰지가 미적분 초기의 큰 난제였다. 버클리 주교는 무한소를 “사라진 양의 유령”이라 비꼬았지만, 극한의 엄밀한 계산법이 정립되며 이 비판은 해소되었다.

핵심 $f(a)$가 정의되고, $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$가 존재하며, 그 값이 $f(a)$와 같을 때 $f(x)$는 $x=a$에서 연속이다. 닫힌구간에서 연속이면 최대·최소 정리와 사잇값 정리가 성립한다.

역사 ‘끊김 없이 이어진 함수’라는 직관을 코시가 극한으로 엄밀하게 정의했다. 사잇값 정리(연속함수가 두 값을 가지면 그 사이 모든 값도 가진다)는 방정식에 해가 존재함을 보장하는 등, 직관적으로 당연해 보이는 사실에 논리적 토대를 마련해 주었다.