02 미분

핵심 $x=a$에서의 순간변화율(미분계수) $f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 기울기와 같다.

역사 평균속도가 아니라 ‘바로 그 순간의 속도’를 어떻게 정의할까 — 이 물음이 미분을 낳았다. 17세기 뉴턴은 운동을 설명하려고, 라이프니츠는 곡선의 접선을 구하려고 거의 동시에 미분을 발견했고, 누가 먼저냐를 두고 큰 논쟁이 벌어졌다.

핵심 각 $x$에 미분계수를 대응시킨 함수 $f'(x)$. $(x^{n})'=nx^{n-1}$, 상수배·합·곱($\{f g\}'=f'g+fg'$)의 미분법으로 다항함수를 미분한다.

역사 라이프니츠가 고안한 기호 $\dfrac{dy}{dx}$는 ‘아주 작은 변화의 비’라는 미분의 본질을 담아, 오늘날까지 쓰인다. 좋은 기호 체계 덕분에 유럽 대륙의 수학은 미적분을 빠르게 발전시켰고, 기호가 불편했던 뉴턴식 표기를 쓰던 영국은 한동안 뒤처졌다.

핵심 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선은 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$. 기울기나 지나는 점이 주어진 접선도 미분계수로 구한다.

역사 곡선에 닿는 접선을 구하는 문제는 데카르트·페르마가 미적분 이전부터 씨름하던 난제였다. 페르마의 접선·극값 방법은 사실상 미분의 선구였으며, 뉴턴과 라이프니츠가 이를 극한으로 일반화하면서 모든 곡선에 통하는 방법이 완성되었다.

핵심 $f'(x)>0$이면 증가, $f'(x)<0$이면 감소. $f'(x)$의 부호가 바뀌는 곳에서 극대·극소를 가진다. 증감표를 그려 그래프의 개형을 파악한다.

역사 “언제 가장 크거나 작아지는가”라는 최적화 문제를 미분이 단번에 해결했다. 17세기 페르마는 극값에서 변화율이 0이 된다는 원리를 간파했고, 이는 오늘날 경제학의 이윤 극대화부터 공학 설계까지 모든 최적화의 기본 도구가 되었다.

핵심 수직선 위를 움직이는 점의 위치가 $x=f(t)$일 때, 속도 $v=\dfrac{dx}{dt}=f'(t)$, 가속도 $a=\dfrac{dv}{dt}$. 위치를 두 번 미분하면 가속도가 된다.

역사 미분은 본래 운동을 기술하기 위한 언어였다. 갈릴레이가 실험으로 밝힌 낙하 법칙을, 뉴턴은 ‘위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도’라는 미분의 언어로 다시 써 《프린키피아》(1687)에서 만유인력과 운동 법칙을 세웠다.