03 적분

핵심 미분의 역연산. $F'(x)=f(x)$일 때 $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ ($C$는 적분상수). $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $(n\ne-1)$.

역사 적분 기호 $\displaystyle\int$는 합을 뜻하는 라틴어 ‘summa’의 긴 S에서 라이프니츠가 따왔다. 적분이 미분의 거꾸로라는 사실(미적분의 기본정리)이야말로 미적분학의 핵심으로, 넓이를 구하는 문제와 변화율 문제가 하나로 이어졌다.

핵심 연속함수 $f$에 대해 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ (미적분의 기본정리). 구간을 잘게 나눈 합(리만 합)의 극한으로 정의된다.

역사 넓이를 ‘잘게 쪼개 더하는’ 발상은 B.C. 3세기 아르키메데스의 구분구적법까지 거슬러 오른다. 그는 포물선과 원의 넓이를 무수히 잘게 나눠 구했고, 2천 년 뒤 뉴턴·라이프니츠가 이를 정적분으로, 19세기 리만이 엄밀한 합의 극한으로 정식화했다.

핵심 구간 $[a,b]$에서 $f(x)\ge0$이면 곡선과 $x$축 사이의 넓이는 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$. 두 곡선 사이의 넓이는 $\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx$.

역사 직선으로 둘러싸이지 않은 곡선 도형의 넓이를 구하는 일(구적, quadrature)은 고대 그리스 이래 수학의 큰 목표였다. 정적분은 곡선 아래 넓이를 ‘무한히 가는 직사각형들의 합’으로 정확히 구해 내며, 이 오랜 문제에 일반적 해법을 주었다.

핵심 속도 $v(t)$로 움직이는 점이 시각 $a$부터 $b$까지 움직인 거리·위치 변화는 $\displaystyle\int_{a}^{b}v(t)\,dt$. 속도가 음수인 구간을 고려하면 실제 이동 거리는 $\displaystyle\int_{a}^{b}|v(t)|\,dt$.

역사 ‘속도를 적분하면 거리가 된다’는 미분(거리→속도)의 정확한 역과정이다. 갈릴레이가 속도-시간 그래프 아래 넓이로 낙하 거리를 가늠한 통찰을, 적분이 미적분의 기본정리로 엄밀하게 뒷받침하며 물리학의 기본 언어가 되었다.