01 이차곡선

핵심 평면 위의 한 점(초점)과 한 직선(준선)에 이르는 거리가 같은 점들의 자취. 초점이 $(p,0)$, 준선이 $x=-p$이면 $y^{2}=4px$.

역사 B.C. 3세기 아폴로니우스는 원뿔을 평면으로 자른 단면으로 포물선·타원·쌍곡선을 통합해 《원뿔곡선론》을 남겼다. 2천 년 뒤 갈릴레이는 던진 물체가 포물선을 그린다는 것을, 뉴턴은 포물면 거울이 빛을 한 점에 모은다는 것을 밝혀, 순수기하의 곡선이 자연·기술의 핵심임이 드러났다.

핵심 두 정점(초점)에 이르는 거리의 합이 일정한 점들의 자취. $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ $(a>b>0)$이면 초점은 $(\pm c,0)$, $c^{2}=a^{2}-b^{2}$.

역사 아폴로니우스가 원뿔곡선의 하나로 다룬 타원은, 17세기 케플러가 행성이 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 돈다는 제1법칙을 발견하며 우주의 법칙으로 떠올랐다. 고대의 추상적 곡선이 천체의 운동을 정확히 기술한 극적인 사례다.

핵심 두 정점(초점)에 이르는 거리의 차의 절댓값이 일정한 점들의 자취. $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$이면 점근선은 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$.

역사 쌍곡선 역시 아폴로니우스의 원뿔곡선 중 하나다. 두 지점에서 받은 신호의 시간 차로 위치를 정하는 쌍곡선 항법(LORAN)과 GPS의 원리가 바로 “거리의 차가 일정한 자취”라는 쌍곡선의 정의에서 나온다.

핵심 이차곡선과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식 $D$로 판정한다. $D>0$이면 두 점에서, $D=0$이면 접하고, $D<0$이면 만나지 않는다.

역사 곡선과 직선이 만나는지를 ‘식을 연립해 판별식으로’ 따지는 방법은 17세기 데카르트의 해석기하가 준 선물이다. 고대에는 작도로 일일이 확인해야 했던 위치 관계를, 좌표와 대수가 계산 한 번으로 결정해 준다.

핵심 기울기 $m$이 주어진 접선은 판별식 $D=0$ 조건으로, 곡선 위의 점에서의 접선은 공식(예: $y^{2}=4px$ 위 점 $(x_{1},y_{1})$에서 $y_{1}y=2p(x+x_{1})$)으로 구한다.

역사 원뿔곡선의 접선은 빛의 반사와 깊이 연관된다. 포물면은 평행한 빛을 초점에 모으고(반사망원경·위성안테나), 타원면은 한 초점의 소리를 다른 초점에 모은다(속삭이는 회랑). 접선의 성질이 이런 반사의 기하학을 지배한다.