02 평면벡터

핵심 크기와 방향을 함께 갖는 양이 벡터. 평행이동으로 포갤 수 있으면 같은 벡터. 두 벡터의 합은 삼각형·평행사변형 법칙으로, 차는 $\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$로 구한다.

역사 힘·속도·변위처럼 ‘방향이 있는 양’을 다루려는 노력은 오래되었지만, 벡터를 독립된 수학 대상으로 세운 것은 19세기다. 해밀턴의 사원수와 그라스만의 확장론에서 출발해, 물리량을 좌표 없이 다루는 벡터 대수가 탄생했다.

핵심 실수 $k$에 대해 $k\vec{a}$는 방향이 같거나($k>0$) 반대($k<0$)이고 크기가 $|k|$배인 벡터. 한 평면의 임의의 벡터는 평행하지 않은 두 벡터 $\vec{a},\vec{b}$로 $m\vec{a}+n\vec{b}$ 꼴로 유일하게 분해된다.

역사 ‘평면의 모든 벡터를 두 기본 벡터의 조합으로 나타낼 수 있다’는 생각은 기저(basis)와 차원 개념의 씨앗이다. 그라스만이 일반화한 이 아이디어는 20세기 선형대수학으로 자라나, 오늘날 그래픽스·기계학습의 기본 언어가 되었다.

핵심 기준점 $O$에 대해 점 $P$의 위치를 나타내는 $\vec{OP}$가 위치벡터. 좌표평면에서 $\vec{a}=(a_{1},a_{2})$로 성분 표시하면 합·실수배·크기 $|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}$를 좌표로 계산한다.

역사 벡터에 좌표(성분)를 부여하자, 기하학적 대상이던 벡터가 숫자쌍의 계산으로 바뀌었다. 데카르트의 좌표 아이디어가 벡터로 확장된 셈으로, 도형의 분점·무게중심 같은 문제를 벡터식 한 줄로 풀 수 있게 했다.

핵심 $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$. 두 벡터가 수직이면 내적이 $0$. 두 벡터가 이루는 각과 정사영의 길이를 구하는 데 쓴다.

역사 내적은 ‘방향이 같은 정도’를 하나의 수로 재는 연산이다. 19세기 깁스와 헤비사이드가 벡터 해석학으로 정리했으며, 일이 힘과 변위의 내적 $W=\vec{F}\cdot\vec{d}$로 정의되는 등 물리학 곳곳에 등장한다.