03 공간도형과 공간좌표

핵심 공간에서 두 직선은 평행·만남·꼬인 위치 중 하나. 직선과 평면은 포함·평행·한 점에서 만남, 두 평면은 평행·만남(교선) 관계를 가진다. 이면각으로 두 평면이 이루는 각을 잰다.

역사 평면을 벗어나 3차원 공간의 도형을 다루는 입체기하는 유클리드 《원론》 11–13권에서 이미 체계화되었다. 다섯 가지 정다면체(플라톤 입체)가 그 정점으로, 공간을 논리적으로 다루는 전통은 여기서 시작되었다.

핵심 평면 밖의 점에서 평면과 평면 위 직선에 내린 수선들 사이의 직교 관계가 삼수선의 정리. 도형을 평면에 수직으로 비춘 그림자가 정사영이며, 그 넓이는 $S'=S\cos\theta$.

역사 그림자(정사영)로 입체를 평면에 옮기는 발상은 르네상스 화가들의 원근법과 이어진다. 데자르그가 이를 사영기하학으로 발전시켰고, 정사영은 오늘날 제도(설계도)와 3차원 그래픽스의 평면 투영에 그대로 쓰인다.

핵심 서로 수직인 세 좌표축으로 점을 $(x,y,z)$로 나타낸다. 두 점 $A(x_{1},y_{1},z_{1})$, $B(x_{2},y_{2},z_{2})$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}$.

역사 데카르트의 평면좌표를 한 축 더 늘려 공간으로 확장한 것이다. 거리 공식이 피타고라스 정리를 3차원으로 자연스럽게 일반화하듯, 좌표는 차원에 구애받지 않고 적용된다 — 이 보편성이 훗날 4차원 이상의 추상 공간으로 가는 길을 열었다.

핵심 중심 $(a,b,c)$, 반지름 $r$인 구는 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}$. 평면에서의 원의 방정식을 공간으로 확장한 것이다.

역사 원이 평면에서 ‘중심에서 같은 거리’이듯, 구는 공간에서 같은 정의를 가진다. 좌표가 한 차원 늘 때 방정식에 항이 하나 더 붙을 뿐이라는 규칙성은, 수학이 차원을 넘어 일관되게 작동함을 보여 주는 단적인 예다.