01 수열의 극한

핵심 $n$이 한없이 커질 때 $a_{n}$이 일정한 값 $L$에 가까워지면 수렴, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=L$. 그렇지 않으면 발산한다. 극한의 사칙연산과 샌드위치 정리를 이용한다.

역사 ‘끝없이 가까워지지만 닿지 않는’ 극한의 개념은 직관적으로는 오래됐지만, 19세기 코시와 바이어슈트라스가 $\varepsilon$–$N$ 논법으로 엄밀히 정의하고서야 모호함이 사라졌다. 이로써 무한을 다루는 해석학이 견고한 기초를 얻었다.

핵심 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}r^{n}$은 $-1<r\le1$에서만 수렴하고($|r|<1$이면 $0$, $r=1$이면 $1$), 그 밖에서는 발산한다. 공비의 범위로 수렴·발산을 판정한다.

역사 “거북을 따라잡지 못한다”는 제논의 역설은 $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ 같은 무한히 줄어드는 양의 합을 어떻게 볼지의 문제였다. 등비수열의 극한이 $0$에 수렴함을 이해하면서, 인류는 무한을 두려워하지 않고 다룰 수 있게 되었다.

핵심 수열의 항을 무한히 더한 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$. 부분합 $S_{n}$의 극한이 존재하면 수렴한다. 급수가 수렴하면 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0$이다(역은 성립하지 않음).

역사 14세기 인도 케랄라 학파의 마다바는 $\pi$와 삼각함수를 무한급수로 나타내, 뉴턴·라이프니츠보다 300년 앞서 무한급수에 다가갔다. 무한히 더해도 유한한 값이 된다는 발견은 훗날 미적분의 핵심 도구가 되었다.

핵심 첫째항 $a$, 공비 $r$인 등비급수 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$는 $|r|<1$일 때 $\dfrac{a}{1-r}$로 수렴하고, $|r|\ge1$이면 발산한다.

역사 B.C. 3세기 아르키메데스는 포물선으로 잘린 활꼴의 넓이를 구하려고 $1+\tfrac14+\tfrac1{16}+\cdots=\tfrac43$ 같은 무한등비급수의 합을 사실상 계산했다. 극한 개념 없이도 무한합을 다룬 그의 ‘소진법’은 적분의 직접적 선구였다.