02 미분법

핵심 무리수 $e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$. $(e^{x})'=e^{x}$, $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$, $(a^{x})'=a^{x}\ln a$.

역사 밑 $e$는 미분해도 자기 자신이 되는 유일한 지수함수를 만든다. 오일러가 이 상수의 중요성을 밝히고 기호 $e$를 붙였으며, 자연·금융·공학에서 연속적 성장과 붕괴를 기술하는 ‘자연의 밑’으로 자리 잡았다.

핵심 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ (호도법). 이를 바탕으로 $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$, $(\tan x)'=\sec^{2}x$.

역사 삼각함수의 도함수가 이토록 깔끔한 것은 각을 호도법(라디안)으로 잴 때뿐이다. 도(度)로 재면 어색한 상수가 따라붙는다. 이 단순함 덕분에 진동·파동을 미분방정식으로 기술하는 물리학이 가능해졌다.

핵심 몫의 미분 $\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^{2}}$. 합성함수의 미분(연쇄법칙) $\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)$.

역사 연쇄법칙은 ‘변화가 또 다른 변화를 일으키는’ 상황을 다룬다. 라이프니츠의 기호 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$는 마치 분수의 약분처럼 보이는데, 이 직관적 표기가 복잡한 합성함수의 미분을 기계적으로 처리하게 해 주었다.

핵심 매개변수 $x=f(t),\ y=g(t)$이면 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. 음함수는 양변을 $x$로 미분하고, 역함수는 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy}$.

역사 곡선을 ‘$y=f(x)$’로만 보지 않고 매개변수나 음함수로 유연하게 표현하면서, 원·사이클로이드처럼 한 식으로 풀어쓰기 힘든 곡선도 미분으로 다룰 수 있게 되었다. 이는 곡선의 운동·궤적 분석의 핵심 기법이다.

핵심 이계도함수 $f''(x)$의 부호로 그래프의 오목·볼록과 변곡점을 판정한다. 증가·감소, 극값, 점근선을 종합해 함수의 그래프 개형을 그린다.

역사 미분은 곡선을 ‘무한히 확대하면 직선처럼 보인다’는 통찰 위에 있다. 한 점 부근의 기울기(일계도함수)와 휘는 정도(이계도함수)를 알면 복잡한 곡선의 전체 모습을 재구성할 수 있다 — 해석학이 그림을 그리는 방식이다.

핵심 방정식 $f(x)=0$의 실근의 개수를 $y=f(x)$의 그래프로, 부등식 증명을 함수의 최솟값으로 다룬다. 위치 $x(t)$를 미분해 속도·가속도를 구한다.

역사 미분은 순수한 계산을 넘어 ‘증명의 도구’가 된다. 어떤 부등식이 늘 성립함을, 그 차를 함수로 두고 최솟값이 음이 아님을 보여 증명한다. 뉴턴이 운동을 미분으로 기술한 이래, 미분은 자연과 논리를 잇는 다리가 되었다.