03 적분법

핵심 $\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, $\displaystyle\int\dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$, $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ 등 기본 함수의 부정적분을 미분의 역으로 구한다.

역사 미분은 어떤 함수든 규칙대로 해낼 수 있지만, 적분은 그렇지 않다. $e^{-x^{2}}$처럼 아무리 해도 초등함수로는 적분되지 않는 함수가 있다는 사실은, 적분이 미분보다 훨씬 까다로운 연산임을 보여 준다.

핵심 치환적분 $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$ (연쇄법칙의 역). 부분적분 $\displaystyle\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (곱의 미분법의 역).

역사 치환적분과 부분적분은 각각 연쇄법칙과 곱셈법칙을 거꾸로 돌린 것이다. 미분 공식 하나하나가 적분 기법으로 되살아나는 이 대응 관계는, 미분과 적분이 동전의 양면(미적분의 기본정리)임을 다시 한번 보여 준다.

핵심 구간을 $n$등분한 직사각형 넓이의 합의 극한이 정적분: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$. 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구한다.

역사 정적분을 ‘무한히 잘게 나눈 합의 극한’으로 본 것은 19세기 리만이다. 아르키메데스의 소진법과 뉴턴·라이프니츠의 적분을, 합과 극한이라는 엄밀한 언어로 정식화하면서 적분의 의미가 분명해졌다.

핵심 단면적이 $S(x)$인 입체의 부피는 $\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx$이고, 회전체의 부피도 같은 원리로 구한다. 속도 $v(t)$를 적분해 위치·이동 거리를 구한다.

역사 넓이를 적분으로 구하듯, ‘얇은 단면을 무한히 쌓아’ 부피를 구한다. 아르키메데스가 구의 부피를 원기둥·원뿔과 비교해 알아낸 이래, 적분은 곡면으로 둘러싸인 입체의 부피를 일반적으로 계산하는 길을 열었다.