03 일차함수

핵심 $x$값 하나에 $y$값 하나가 대응하는 함수, 함숫값 $f(x)$.

역사 ‘함수(function)’라는 용어는 라이프니츠가 쓰기 시작했고, $f(x)$ 표기는 오일러가 도입했다. 행성의 운동, 떨어지는 물체처럼 하나의 양이 다른 양에 따라 변하는 자연 현상을 기술하려는 근대 과학의 요구가 함수 개념을 키웠다.

핵심 $y=ax+b\,(a\ne0)$. $y=ax$의 그래프를 $y$축 방향으로 $b$만큼 평행이동.

역사 데카르트의 해석기하 덕분에 ‘식’과 ‘그래프’가 하나로 묶였다. 일정한 비율로 변하는 가장 단순한 변화인 일차함수는 직선으로 나타나며, 등속 운동·기본 요금처럼 현실의 ‘일정한 변화’를 모델링하는 첫 도구가 된다.

핵심 기울기 $a=\dfrac{(y\text{의 증가량})}{(x\text{의 증가량})}$, $y$절편 $b$, $x$절편. 기울기와 한 점, 또는 두 점으로 식을 구한다.

역사 ‘기울기’는 곧 변화의 빠르기(변화율)다. 속도(거리의 변화율)를 다루던 근대 물리학의 문제의식이 이 개념을 키웠고, 변화율을 더 깊이 파고든 결과가 뉴턴·라이프니츠의 미분이다. 일차함수의 기울기는 미분의 가장 단순한 형태다.

핵심 일차방정식 $ax+by+c=0$의 그래프는 직선이다.

역사 “방정식은 도형이고, 도형은 방정식이다.” 데카르트가 연 이 다리는 대수와 기하를 통합했다. 식 하나를 평면 위 직선으로 ‘볼 수 있게’ 된 것이 해석기하의 위력이다.

핵심 두 그래프의 교점의 좌표가 연립방정식의 해(평행하면 해 없음, 일치하면 무수히 많음).

역사 ‘식을 푼다(대수)’와 ‘선이 만나는 점을 찾는다(기하)’가 같은 일임을 보여 주는 대표적 장면이다. 해가 없음/하나/무수히 많음을 두 직선의 위치 관계로 직관적으로 이해하게 된다.