04 도형의 성질

핵심 두 밑각의 크기가 같다. 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

역사 유클리드 《원론》 제1권의 다섯 번째 명제(이등변삼각형의 두 밑각이 같다)는 그림이 다리처럼 생겨 중세에 ‘당나귀 다리(pons asinorum)’라 불렸다. 여기서 막히면 더 못 나아간다 하여, 논증 기하의 첫 관문으로 여겨졌다.

핵심 $\text{RHA}$(빗변과 한 예각), $\text{RHS}$(빗변과 다른 한 변).

역사 직각은 건축과 측량에서 가장 중요한 각이었기에, 직각삼각형은 특별히 다뤄졌다. 직각이라는 ‘하나의 강한 조건’ 덕분에 더 적은 정보로도 두 삼각형이 같음을 보장할 수 있다.

핵심 직각삼각형에서 빗변 $c$와 다른 두 변 $a,\,b$에 대해 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

역사 이 정리는 피타고라스 이전부터 여러 문명이 알고 있었다. 바빌로니아의 점토판(플림턴 322)에 직각삼각형 수의 쌍이 적혀 있고, 이집트는 $3{:}4{:}5$ 끈으로 직각을 만들었으며, 중국 《주비산경》에는 ‘구고현(勾股弦)’으로 실려 있다. 피타고라스 학파가 이를 증명해 보편 진리로 끌어올렸다.

핵심 내심은 세 내각의 이등분선의 교점(내접원의 중심), 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점(외접원의 중심).

역사 “세 직선이 신기하게도 한 점에서 만난다”는 사실은 그리스 기하학자들을 매료시켰다. 외심은 세 마을에서 같은 거리의 우물 자리를, 내심은 세 변에 닿는 가장 큰 원을 찾는 등 실용적 의미도 지닌다.

핵심 두 쌍의 대변과 대각이 각각 같고, 두 대각선이 서로를 이등분한다.

역사 평행사변형은 ‘힘의 합성’(평행사변형 법칙)처럼 물리에서도 핵심 도형이다. 유클리드는 평행선의 성질로부터 평행사변형의 여러 성질을 차근차근 증명해 보였다.

핵심 직사각형·마름모·정사각형·사다리꼴의 성질과 사각형들 사이의 포함 관계.

역사 여러 사각형을 ‘무엇이 무엇을 포함하는가’로 분류하는 일은, 대상을 정의와 조건으로 체계화하는 수학적 사고의 좋은 훈련이다. 이런 분류 정신은 훗날 모든 수학 구조를 정의로 묶는 현대 수학으로 이어진다.