05 도형의 닮음

핵심 닮음과 닮음비. 대응변의 비가 일정하고 대응각이 같다. 닮음비 $m:n$이면 넓이의 비 $m^{2}:n^{2}$, 부피의 비 $m^{3}:n^{3}$.

역사 탈레스는 막대 그림자와 피라미드 그림자의 비를 이용해, 직접 오를 수 없는 피라미드의 높이를 닮음으로 알아냈다고 전한다. 지도의 축척, 설계도와 실물의 관계가 모두 닮음이며, ‘작은 모형으로 큰 것을 가늠하는’ 인류의 지혜다.

핵심 $\text{SSS}$ 닮음, $\text{SAS}$ 닮음, $\text{AA}$ 닮음.

역사 합동이 ‘완전히 같은’ 도형의 조건이라면, 닮음은 ‘모양만 같은’ 도형의 조건이다. 특히 두 각만 같으면 닮음($\text{AA}$)이라는 사실은, 멀리 있는 대상을 각도만 재서 크기를 추정하는 측량·천문의 핵심 원리다.

핵심 삼각형에서 한 변에 평행한 직선이 나머지 두 변을 같은 비로 나눈다. 평행선 사이의 선분의 길이의 비.

역사 이 성질은 ‘탈레스 정리’로도 불리며, 비례와 닮음을 잇는 다리다. 닿을 수 없는 곳의 거리를 비례로 환산해 재는 측량술의 바탕이 되었다.

핵심 세 중선의 교점이 무게중심이며, 각 중선을 꼭짓점에서부터 $2:1$로 나눈다.

역사 ‘무게중심’은 물리에서 시작된 개념이다. 아르키메데스는 지렛대와 평형을 연구하며 도형이 한 점에서 받쳐 균형을 이루는 자리를 수학적으로 규명했고, 이는 정역학(평형 이론)의 출발점이 되었다.