03 통계

핵심 표본공간의 각 결과에 실수를 대응시킨 것이 확률변수 $X$이고, 그 값과 확률의 대응이 확률분포다. 기댓값 $E(X)=\sum x_{i}p_{i}$, 분산 $V(X)=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}$.

역사 우연의 결과를 ‘수’로 바꾸어 평균과 흩어짐을 따지는 확률변수의 발상은, 도박의 ‘기대 이득’ 계산에서 자랐다. 라플라스가 《확률의 해석적 이론》(1812)에서 이를 집대성하며, 확률은 수학의 한 분야로 확립되었다.

핵심 성공확률 $p$인 독립시행을 $n$번 할 때 성공 횟수 $X$의 분포가 이항분포 $\mathrm{B}(n,p)$. $P(X=r)={}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$.

역사 같은 시행을 거듭할 때의 성공 횟수를 다루는 이항분포는 야코프 베르누이가 깊이 연구했다. 그는 시행을 늘리면 상대도수가 확률에 가까워진다는 대수의 법칙을 증명해(《추측술》, 1713), 경험과 확률을 잇는 다리를 놓았다.

핵심 연속확률변수가 평균 $m$, 표준편차 $\sigma$를 따를 때의 종 모양 분포 $\mathrm{N}(m,\sigma^{2})$. 표준화 $Z=\dfrac{X-m}{\sigma}$로 표준정규분포 $\mathrm{N}(0,1)$를 이용해 확률을 구한다.

역사 키·측정 오차처럼 수많은 우연이 겹친 양은 종 모양 곡선을 이룬다. 드무아브르가 발견하고 가우스가 측정 오차 연구에서 정립해 ‘가우스 분포’로도 불린다. 자연·사회 현상에 두루 나타나 통계학의 중심에 선다.

핵심 모평균 $m$, 모표준편차 $\sigma$인 모집단에서 크기 $n$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$는 평균 $m$, 표준편차 $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$를 따르고, $n$이 크면 근사적으로 정규분포를 이룬다(중심극한정리).

역사 개개의 분포가 무엇이든 표본평균은 정규분포에 가까워진다는 중심극한정리는 통계학의 기적이라 불린다. 라플라스가 일반형을 제시한 이 정리 덕분에, 일부만 조사해 전체를 추정하는 표본조사가 정당화된다.

핵심 표본평균 $\overline{X}$로 모평균 $m$을 구간추정한다. 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간은 $\overline{X}-1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\le m\le\overline{X}+1.96\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.

역사 전수조사 없이 표본으로 모집단을 추측하는 추측통계학은 20세기 초 피셔·네이만 등이 세웠다. ‘참값이 이 구간에 있을 것이라 $95\%$ 신뢰한다’는 신뢰구간 개념은 여론조사·품질관리·과학실험의 표준 언어가 되었다.