02 확률

핵심 표본공간 $S$에서 사건 $A$의 확률 $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$ (수학적 확률). 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

역사 확률이 학문이 된 것은 1654년, 도박꾼의 질문을 받은 파스칼과 페르마의 편지 교환에서다. ‘중단된 도박의 판돈을 어떻게 나눌까’라는 문제를 풀며, 우연을 수로 다루는 확률론이 탄생했다.

핵심 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $P(A^{c})=1-P(A)$. ‘적어도 하나’ 꼴의 확률은 여사건으로 구하면 간단하다.

역사 ‘적어도 한 번’을 직접 세면 경우가 많지만, ‘한 번도 아닌’ 경우를 빼면 쉬워진다. 이 우회의 발상은 라플라스가 확률을 ‘유리한 경우 대 전체 경우의 비’로 정식화하면서 확률 계산의 기본 전략으로 자리 잡았다.

핵심 사건 $A$가 일어났을 때 $B$의 조건부확률 $P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ $(P(A)>0)$. 곱셈정리 $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$.

역사 ‘이미 어떤 정보를 안다면 확률이 어떻게 바뀌는가’를 다루는 조건부확률은, 18세기 베이즈 목사의 정리로 이어졌다. 관측으로 믿음을 갱신하는 베이즈의 아이디어는 오늘날 스팸 필터·의료 진단·기계학습의 토대다.

핵심 $P(A\cap B)=P(A)P(B)$이면 두 사건은 독립, 즉 $P(B|A)=P(B)$이다. 그렇지 않으면 종속이다.

역사 두 사건이 서로 ‘영향을 주지 않는다’는 독립의 개념은 확률론의 주춧돌이다. 동전을 연달아 던질 때 이전 결과가 다음에 영향을 주지 않는다는 직관을 수식으로 못박은 것으로, 대수의 법칙과 통계적 추론의 전제가 된다.