01 기초 수학과 미적분 리뷰

핵심 변수와 함수 $f(x)$, 그리고 여러 항을 더하는 시그마 $\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_{i}$. 수많은 데이터 값에 같은 연산을 한꺼번에 적용하는 기본 표기다.

역사 데이터 과학의 모든 수식은 ‘여러 데이터에 같은 연산을 반복’하는 데서 시작한다. 18세기 오일러가 함수 기호 $f(x)$와 합의 기호 $\Sigma$를 정착시킨 덕분에, 수천 개의 데이터 포인트를 한 줄의 식으로 표현하고 컴퓨터로 일괄 처리할 수 있게 되었다.

핵심 거듭제곱 $a^{x}$와 그 역연산인 로그 $\log_{a}N$. 로그의 성질 $\log MN=\log M+\log N$으로 곱셈을 덧셈으로 바꿔, 큰 수의 계산과 스케일 압축에 쓴다.

역사 16–17세기 네이피어가 천문 계산의 곱셈을 덧셈으로 바꾸려 로그를 발명했다. 데이터 과학에서 로그는 수십 배씩 차이 나는 값(소득·조회수·우도)을 다루기 좋게 ‘압축’하고, 곱으로 누적되는 확률을 더하기 쉬운 로그우도로 바꾸는 데 핵심적으로 쓰인다.

핵심 무리수 $e=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}=2.71828\cdots$와 밑이 $e$인 자연로그 $\ln x$. 연속적 성장·붕괴와 확률 모형의 표준 밑이다.

역사 복리 이자를 ‘무한히 잘게 쪼개 계속’ 불릴 때 다다르는 극한이 오일러 수 $e$다. 오일러가 그 보편성을 밝힌 이래, $e$는 연속적 성장을 기술하는 ‘자연의 밑’이 되어 로지스틱 함수·정규분포·신경망 활성화 함수의 한가운데에 자리한다.

핵심 $x$가 어떤 값에 한없이 가까워질 때 함수가 다가가는 값 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$. 미분·적분과 ‘무한히 작은 변화’를 다루는 토대다.

역사 ‘끝없이 가까워진다’는 직관을 19세기 코시와 바이어슈트라스가 엄밀히 정의하면서 미적분이 견고해졌다. 데이터 과학에서 극한은 경사하강법이 점점 최적값에 수렴하는 과정과, 연속 확률을 넓이로 보는 적분의 바탕이 된다.

핵심 순간변화율 $f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. 변수가 여럿이면 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x}$, 합성함수는 연쇄법칙 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$.

역사 17세기 뉴턴·라이프니츠가 만든 미분은, 데이터 과학에서 모델을 학습시키는 엔진이다. 손실함수를 각 가중치로 편미분해 ‘어느 방향으로 바꾸면 오차가 주는지’를 알아내고, 연쇄법칙은 신경망의 역전파를 가능케 하는 바로 그 규칙이다.

핵심 곡선 아래 넓이를 ‘무한히 가는 직사각형의 합’으로 구하는 연산 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx$. 확률밀도함수에서 넓이는 곧 확률이다.

역사 B.C. 3세기 아르키메데스의 구적법에서 싹터 뉴턴·라이프니츠가 완성한 적분은, 데이터 과학에서 연속확률분포의 확률을 계산하는 도구다. 정규분포 곡선 아래 넓이로 ‘어떤 범위에 속할 확률’을 구하는 일이 모두 적분이다.