02 인수분해와 이차방정식

핵심 곱셈 공식 — $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm2ab+b^{2}$, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$.

역사 유클리드 《원론》 제2권은 이 곱셈 공식들을 넓이로 증명한다. 예컨대 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$는 한 변이 $a+b$인 정사각형을 네 조각으로 나눈 그림으로 보였다. 이를 ‘기하 대수’라 부른다.

핵심 곱셈 공식을 거꾸로 이용한 인수분해, 공통인수 묶기. 예: $x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)$.

역사 인수분해는 ‘식을 곱의 꼴로 되돌리는’ 작업으로, 방정식을 푸는 가장 강력한 도구가 된다. “곱이 $0$이면 적어도 한 인수가 $0$”이라는 원리 덕분에, 복잡한 이차·고차 방정식을 단순한 일차식들의 문제로 분해할 수 있다.

핵심 $ax^{2}+bx+c=0\,(a\ne0)$ 꼴과 그 해(근).

역사 “넓이가 주어진 직사각형의 변을 구하라” 같은 문제로, 바빌로니아는 B.C. 2000년경 이미 이차방정식을 풀었다. 땅의 면적과 둘레로부터 변의 길이를 찾는 토지·건축 문제가 이차방정식의 가장 오래된 동기다.

핵심 인수분해·제곱근·완전제곱식, 근의 공식 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$로 풀고 활용에 적용.

역사 알콰리즈미는 이차방정식을 ‘정사각형을 완성하는’ 기하학적 방법(완전제곱식)으로 풀어 보였다. 이를 일반화한 것이 근의 공식이며, 그 안의 $\sqrt{b^{2}-4ac}$가 음수가 되는 경우를 다루려다 훗날 ‘허수’와 복소수가 탄생하게 된다.