01 실수와 그 연산

핵심 제곱하여 $a$가 되는 수가 $a$의 제곱근(양수 $a$는 $\pm\sqrt{a}$ 두 개). $(\sqrt{a})^{2}=a$, $\sqrt{a^{2}}=|a|$.

역사 넓이가 $2$인 정사각형의 한 변, 즉 $\sqrt{2}$를 구하려는 문제가 제곱근의 출발이다. 바빌로니아 점토판에는 이미 $\sqrt{2}$의 놀랍도록 정밀한 근삿값이 새겨져 있어, 측량·건축에서 제곱근이 실제로 필요했음을 보여 준다.

핵심 순환하지 않는 무한소수인 무리수. 실수 $=$ 유리수 $+$ 무리수이며 수직선을 빈틈없이 채운다.

역사 피타고라스 학파는 “모든 수는 정수의 비”라 믿었으나, 정사각형의 대각선($\sqrt{2}$)이 그렇게 표현될 수 없음(무리수)을 발견하고 큰 충격에 빠졌다(‘제1차 수학의 위기’). 전설에 따르면 이 비밀을 누설한 제자가 바다에 던져졌다고도 한다. 무리수까지 포함한 실수 체계는 19세기 데데킨트·칸토어가 엄밀히 완성했다.

핵심 $\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$. 근호식의 덧셈·뺄셈(동류 근호 정리), 분모의 유리화 $\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a}$.

역사 근호 기호 $\sqrt{\phantom{a}}$는 16세기 독일의 루돌프가 라틴어 뿌리(radix)의 머리글자 $r$을 변형해 만들었다고 전한다. 계산기가 없던 시절, ‘분모의 유리화’는 무리수의 나눗셈을 손으로 더 쉽게 계산하기 위한 실용적 기술이었다.