03 이차함수

핵심 $y=ax^{2}+bx+c\,(a\ne0)$ 꼴로 나타나는 함수.

역사 갈릴레이(17세기)는 비스듬히 던진 물체가 그리는 길이 정확히 포물선임을 밝혀냈다. 자연의 운동을 수식으로 기술하려는 근대 과학의 시도가, 변화가 일정하지 않은 ‘이차’ 관계에 주목하게 했다.

핵심 꼭짓점이 원점, 축이 $y$축인 포물선. $a>0$이면 아래로 볼록, $a<0$이면 위로 볼록, $|a|$가 클수록 폭이 좁다.

역사 포물선은 원뿔을 비스듬히 자른 단면으로, 고대 그리스의 아폴로니우스가 《원뿔곡선론》에서 깊이 연구했다. 빛을 한 점에 모으는 포물면(반사망원경·위성 안테나)의 원리가 바로 이 곡선의 성질이다.

핵심 $y=ax^{2}$를 $x$축으로 $p$, $y$축으로 $q$만큼 평행이동. 꼭짓점 $(p,\,q)$, 축은 $x=p$.

역사 기준이 되는 그래프를 평행이동해 새 그래프를 얻는 발상은, 복잡한 함수를 단순한 원형의 변형으로 이해하는 강력한 사고법이다. 좌표 위에서 도형을 움직이는 이 관점은 데카르트 해석기하의 자연스러운 응용이다.

핵심 완전제곱식 $y=a(x-p)^{2}+q$ 꼴로 고쳐 꼭짓점·축을 구하고, $x$절편·$y$절편으로 그래프를 그린다.

역사 일반형을 완전제곱식으로 바꾸는 것은 이차방정식 풀이와 똑같은 기술이다. ‘최댓값·최솟값(포물선의 꼭짓점)’을 찾는 이 과정은 다리·포물선 아치 설계, 이윤 극대화 등 최적화 문제의 가장 기초적 형태다.