01 다항식

핵심 동류항끼리 모아 계산하며, 보통 한 문자에 대해 내림차순으로 정리한다. 덧셈에 대해 교환법칙·결합법칙이 성립한다.

역사 다항식을 항을 나란히 늘어놓아 더하고 빼는 ‘기호 대수’는 16–17세기 비에트와 데카르트를 거치며 자리 잡았다. 그 전까지는 식을 문장으로 서술했기에 복잡한 다항식 계산이 사실상 불가능했고, 기호화 덕분에 비로소 식 자체를 ‘계산의 대상’으로 다룰 수 있게 되었다.

핵심 분배법칙으로 전개한 뒤 동류항을 정리한다. 곱셈 공식 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$, $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$, $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$, $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$ 등을 활용한다.

역사 $(a+b)^{2}$ 같은 곱셈 공식은 원래 도형의 넓이로 이해되었다. 유클리드 《원론》 2권은 정사각형과 직사각형의 넓이를 쪼개고 붙여 이런 항등식을 ‘기하 대수’로 증명했다. 큰 정사각형을 작은 정사각형 둘과 직사각형 둘로 나누는 그림이 곧 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$이다.

핵심 다항식 $A$를 $B$로 나누면 $A=BQ+R$ ($R$의 차수 $<$ $B$의 차수)로 유일하게 나타난다. 직접 나눗셈, 또는 일차식으로 나눌 때는 조립제법을 쓴다.

역사 “나누어 몫과 나머지를 구한다”는 자연수의 나눗셈(유클리드 호제법)을 다항식으로 옮긴 것이다. 다항식도 정수처럼 나눗셈 정리가 성립한다는 사실은, 수와 식이 같은 대수 구조(환)를 이룬다는 근대 추상대수학의 출발점이 되었다.

핵심 문자에 어떤 값을 대입해도 항상 성립하는 등식이 항등식. 양변의 동류항 계수를 비교하거나(계수비교법) 적당한 값을 대입하여(수치대입법) 미지의 계수를 정한다.

역사 ‘모르는 계수를 문자로 두고 조건에서 결정한다’는 미정계수법은 17세기 데카르트의 해석기하와 함께 일반화되었다. 방정식(특정 값에서만 성립)과 항등식(항상 성립)을 구별하는 관점은 대수가 산술에서 독립한 중요한 진전이었다.

핵심 다항식 $f(x)$를 $x-a$로 나눈 나머지는 $f(a)$이다(나머지정리). 특히 $f(a)=0$이면 $x-a$가 $f(x)$의 인수이다(인수정리).

역사 프랑스의 베주(18세기) 등이 정리한 이 정리는, 나눗셈을 실제로 하지 않고 한 번의 대입만으로 나머지를 알아내는 강력한 도구다. 고차방정식의 근을 찾는 실마리를 제공해, 방정식 풀이의 역사에서 핵심 역할을 했다.

핵심 곱셈 공식을 거꾸로 이용하고, $a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})$, 인수정리·조립제법으로 고차식을 분해한다. 복잡한 식은 치환과 내림차순 정리가 유용하다.

역사 인수분해는 “수를 소인수로 쪼개듯 식을 더 단순한 식의 곱으로 쪼개는” 일이다. 알콰리즈미(9세기)의 방정식 풀이가 그 뿌리이며, 가우스가 대수학의 기본정리(모든 $n$차 다항식은 복소수 범위에서 일차식들의 곱으로 분해됨)를 증명하며 그 한계를 밝혔다.