02 방정식과 부등식

핵심 $i^{2}=-1$인 허수단위 $i$. 복소수 $a+bi$의 덧셈·뺄셈·곱셈과 켤레복소수 $\overline{a+bi}=a-bi$. 나눗셈은 분모를 실수화하여 계산한다.

역사 16세기 이탈리아의 카르다노는 삼차방정식을 풀다 $\sqrt{-1}$ 같은 ‘불가능한 수’를 만났고, 봄벨리가 그 계산 규칙을 정리했다. 오랫동안 ‘상상의 수(imaginary)’로 불리며 외면당했지만, 19세기 가우스가 복소평면으로 기하학적 의미를 부여하면서 정식 수로 인정받았다.

핵심 $ax^{2}+bx+c=0$의 판별식 $D=b^{2}-4ac$. $D>0$이면 서로 다른 두 실근, $D=0$이면 중근, $D<0$이면 서로 다른 두 허근.

역사 근의 공식 자체는 바빌로니아·알콰리즈미까지 거슬러 오르지만, 근호 안의 $b^{2}-4ac$가 근의 성질을 판별한다는 관점은 복소수가 인정된 뒤에야 완성되었다. ‘풀기 전에 해의 개수를 안다’는 발상은 이후 방정식론의 전형이 되었다.

핵심 $ax^{2}+bx+c=0$의 두 근 $\alpha,\beta$에 대해 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$. 거꾸로 두 수를 근으로 하는 이차방정식도 세울 수 있다.

역사 16세기 프랑스의 비에트는 근과 계수 사이의 이 대칭적 관계를 처음 일반적으로 밝혔다. 근을 직접 구하지 않고도 근들의 합과 곱을 알 수 있다는 통찰은, 갈루아의 군론과 ‘대칭함수’ 이론으로 이어졌다.

핵심 이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$의 그래프와 $x$축의 교점의 $x$좌표가 $ax^{2}+bx+c=0$의 실근이다. 판별식의 부호로 교점의 개수가 정해진다.

역사 방정식(식)과 함수의 그래프(도형)를 잇는 다리는 17세기 데카르트와 페르마의 해석기하다. ‘$ax^{2}+bx+c=0$을 푼다’는 대수 문제가 ‘포물선이 $x$축과 어디서 만나는가’라는 기하 문제와 같다는 발견은 수학을 근본적으로 바꿨다.

핵심 $y=a(x-p)^{2}+q$로 표준형 변형하면 꼭짓점 $(p,q)$에서 최댓값 또는 최솟값을 갖는다. 정의역이 제한되면 양 끝값도 함께 비교한다.

역사 “언제 가장 크거나 작아지는가”라는 최적화 문제는 17세기 갈릴레이의 포물선 운동 연구에서 절정에 달했다. 던진 물체가 그리는 포물선의 꼭짓점이 최고 높이라는 사실은, 이차함수의 최대·최소가 자연을 기술하는 언어임을 보여 준다.

핵심 인수정리와 조립제법으로 인수분해하여 푼다. $x^{3}=1$ 같은 방정식의 허근(1의 세제곱근 $\omega$) 등 복소수 범위의 근까지 다룬다.

역사 삼차·사차방정식의 일반 해법은 16세기 이탈리아 수학자들(타르탈리아·카르다노·페라리)이 치열한 대결 끝에 찾아냈다. 그런데 오차방정식은 아무리 해도 일반 근의 공식이 나오지 않았고, 이 수수께끼가 아벨과 갈루아의 군론으로 풀렸다.

핵심 일차식과 이차식, 또는 두 이차식으로 이루어진 연립방정식. 대입법·인수분해·상수항 소거 등으로 해를 구한다.

역사 두 곡선이 만나는 점을 구하는 일은 곧 연립방정식 풀이다. 고대 그리스가 원뿔곡선의 교점을 작도로 다루던 문제를, 해석기하는 식의 연립으로 바꿔 계산만으로 풀 수 있게 했다.

핵심 여러 일차부등식을 동시에 만족하는 $x$의 범위. 각 부등식의 해를 수직선에서 겹치는 공통부분으로 구한다.

역사 부등호 $<,>$는 17세기 영국의 해리엇이 도입했다. ‘정확히 같은 값’이 아니라 범위·한계를 다루는 부등식은, 자원이 제한된 현실 문제(최대 생산·최소 비용)를 수학으로 옮기는 데 필수였다.

핵심 $ax^{2}+bx+c>0$ 등은 대응하는 이차함수의 그래프가 $x$축의 위·아래에 있는 구간으로 해를 구한다. 판별식과 근의 위치가 핵심이다.

역사 이차부등식의 해를 ‘포물선이 $x$축 위에 있는 구간’으로 읽는 방식은 해석기하의 직접적 산물이다. 그래프로 부등식을 본다는 관점은 추상적인 식을 직관적인 그림 문제로 바꿔 준다.

핵심 이차부등식을 포함한 연립부등식. 각 부등식의 해를 구한 뒤 수직선에서 공통범위를 찾는다.

역사 여러 조건이 겹치는 영역을 찾는 문제는 20세기 선형·비선형 계획법으로 발전해 경제·공학의 최적화에 쓰인다. 수직선이나 좌표평면에서 ‘조건을 모두 만족하는 영역’을 찾는 훈련이 그 출발점이다.