03 도형의 방정식

핵심 좌표평면 위 두 점 $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는 $\overline{AB}=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$이다. 피타고라스 정리에서 나온다.

역사 데카르트가 도형에 좌표를 붙인 순간, ‘두 점 사이 거리’ 같은 기하량이 좌표의 계산으로 바뀌었다. 피타고라스 정리(B.C. 6세기)가 좌표평면에서 거리 공식으로 되살아난 것으로, 기하와 대수의 결합을 가장 단순하게 보여 준다.

핵심 $A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$를 $m:n$으로 내분하는 점은 $\left(\dfrac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n},\dfrac{my_{2}+ny_{1}}{m+n}\right)$. 외분은 $n$ 대신 $-n$을 쓴다. 삼각형의 무게중심도 구할 수 있다.

역사 선분을 일정한 비로 나누는 문제는 고대 그리스의 비례론(유클리드 《원론》 5권)에서 다뤄졌다. 해석기하는 이를 좌표의 가중평균으로 공식화해, 작도 없이 계산만으로 분점을 구할 수 있게 했다.

핵심 기울기 $m$과 한 점 $(x_{1},y_{1})$이 주어지면 $y-y_{1}=m(x-x_{1})$. 두 점·절편 등 조건에 따라 일차식 $ax+by+c=0$으로 나타낸다.

역사 ‘직선’이라는 도형과 ‘일차식’이라는 식이 하나로 이어진 것은 17세기 해석기하의 핵심 성과다. 14세기 오렘이 양을 그래프로 그린 시도를 데카르트가 좌표축으로 완성하면서, 모든 직선이 일차방정식으로 표현되었다.

핵심 두 직선이 평행하면 기울기가 같고($m_{1}=m_{2}$), 수직이면 기울기의 곱이 $-1$이다($m_{1}m_{2}=-1$).

역사 평행과 수직이라는 ‘눈으로 보는 관계’를 기울기라는 수로 판정하는 것은 해석기하의 묘미다. 유클리드가 공준으로 다룬 평행선이, 좌표평면에서는 ‘기울기가 같다’는 한 줄의 식으로 환원된다.

핵심 점 $(x_{1},y_{1})$과 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리는 $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$이다.

역사 ‘점에서 직선에 내린 수선의 길이’를 작도 없이 식으로 단번에 구하는 이 공식은, 기하 문제를 대수 계산으로 완전히 대체한 해석기하의 상징이다. 오늘날 컴퓨터 그래픽스와 최적화에서 핵심적으로 쓰인다.

핵심 중심 $(a,b)$, 반지름 $r$인 원은 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$. 전개하면 $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ 꼴이 된다.

역사 원은 고대부터 가장 완전한 도형으로 여겨졌다. 아폴로니우스(B.C. 3세기)가 원뿔곡선으로 깊이 연구했고, 데카르트의 좌표가 ‘중심에서 같은 거리’라는 원의 정의를 거리 공식으로 옮겨 간결한 방정식으로 만들었다.

핵심 원의 중심과 직선 사이의 거리 $d$와 반지름 $r$를 비교한다. $d<r$이면 두 점에서 만나고, $d=r$이면 접하며, $d>r$이면 만나지 않는다. 판별식으로도 판정한다.

역사 접선(꼭 한 점에서 스치는 직선)은 그리스 기하의 오랜 주제였다. 해석기하는 ‘중심-직선 거리 $=$ 반지름’이라는 거리 조건으로 접함을 간단히 판정해, 미적분의 접선 개념으로 가는 길을 닦았다.

핵심 도형을 $x$축 방향으로 $a$, $y$축 방향으로 $b$만큼 옮기면, 방정식의 $x$ 대신 $x-a$, $y$ 대신 $y-b$를 대입한다. 점은 $(x,y)\to(x+a,y+b)$.

역사 도형 자체가 아니라 ‘도형을 옮기는 변환’에 주목한 것은 근대적 발상이다. 19세기 클라인은 변환과 그 불변량으로 기하학을 분류했고(에를랑겐 목록), 평행이동은 그 가장 기본적인 대칭이다.

핵심 $x$축·$y$축·원점·직선 $y=x$에 대한 대칭. 예를 들어 $x$축 대칭은 $y\to-y$, $y=x$ 대칭은 $x$와 $y$를 맞바꾼다.

역사 대칭은 자연과 예술에서 가장 보편적인 질서다. 좌표평면에서 대칭이동을 ‘부호 바꾸기·문자 맞바꾸기’라는 식의 조작으로 표현하게 되면서, 대칭은 군(group)이라는 현대 대수 구조로 추상화되었다.