04 집합과 명제

핵심 기준이 분명하여 그 대상이 명확히 정해지는 모임이 집합이다. 원소나열법·조건제시법으로 나타내고, 부분집합 $\subset$, 원소가 $n$개이면 부분집합은 $2^{n}$개.

역사 19세기 독일의 칸토어는 ‘무한’을 정면으로 다루기 위해 집합론을 창시했다. 무한집합에도 크기의 차이가 있음(자연수보다 실수가 더 많다)을 보인 그의 발견은 충격적이었지만, 오늘날 모든 수학의 공통 언어가 되었다.

핵심 합집합 $A\cup B$, 교집합 $A\cap B$, 여집합 $A^{c}$, 차집합 $A-B$. 드모르간 법칙 $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$ 등이 성립한다.

역사 집합의 연산을 기호로 체계화한 사람은 19세기 영국의 불(G. Boole)이다. 그의 불 대수는 ‘참/거짓’과 ‘그리고/또는’을 계산으로 다루었고, 한 세기 뒤 컴퓨터의 논리 회로와 검색 엔진의 토대가 되었다.

핵심 참·거짓을 분명히 판별할 수 있는 문장이 명제. 조건 $p,q$에 대한 ‘$p$이면 $q$이다’($p\Rightarrow q$)의 참·거짓은 진리집합의 포함 관계로 판정한다.

역사 참·거짓을 다루는 논리학은 B.C. 4세기 아리스토텔레스의 삼단논법에서 출발했다. 오랫동안 철학의 영역이던 논리가 불과 프레게를 거쳐 ‘기호로 계산되는 수학’이 되면서, 명제는 수학적 증명의 엄밀한 기초가 되었다.

핵심 ‘$p\Rightarrow q$’의 역은 ‘$q\Rightarrow p$’, 대우는 ‘$\sim q\Rightarrow\sim p$’이다. 명제와 그 대우는 참·거짓이 항상 일치한다.

역사 “결론을 부정하면 가정도 무너진다”는 대우의 원리는 귀류법과 함께 그리스 기하 증명의 핵심 기법이었다. 유클리드는 ‘소수가 무한하다’를 이 방식으로 증명했고, 대우의 동치성은 오늘날에도 증명의 단골 전략이다.

핵심 $p\Rightarrow q$가 참이면 $p$는 $q$이기 위한 충분조건, $q$는 $p$이기 위한 필요조건이다. $p\Leftrightarrow q$이면 필요충분조건(서로 동치).

역사 ‘충분’과 ‘필요’의 구별은 논리적 사고의 정수다. 진리집합의 포함 관계($P\subset Q$이면 $p$는 $q$의 충분조건)로 이를 시각화하는 방식은, 집합론과 논리학이 하나로 묶이는 지점을 보여 준다.

핵심 모든 실수에서 항상 성립하는 부등식. 대표적으로 $a>0,b>0$일 때 산술평균·기하평균의 관계 $\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (등호는 $a=b$일 때), 코시–슈바르츠 부등식 등이 있다.

역사 산술평균이 기하평균보다 크거나 같다는 사실은 고대 그리스가 비례중항으로 이미 알던 기하학적 진리다. 19세기 코시·슈바르츠가 일반화한 부등식들은 오늘날 해석학과 최적화 이론의 뼈대를 이룬다.