05 함수와 그래프

핵심 집합 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 오직 하나씩 대응하는 관계가 함수 $f:X\to Y$. 정의역·공역·치역, 일대일함수와 일대일대응을 구분한다.

역사 ‘함수(function)’라는 말은 17세기 라이프니츠가 처음 썼고, 18세기 오일러가 기호 $f(x)$를 정착시켰다. 처음엔 ‘식으로 쓸 수 있는 것’이었지만, 디리클레(19세기)가 ‘대응 규칙’으로 정의를 넓히며 현대적 함수 개념이 완성되었다.

핵심 $f:X\to Y$, $g:Y\to Z$일 때 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$. 합성은 결합법칙 $(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$가 성립하지만 교환법칙은 일반적으로 성립하지 않는다.

역사 함수를 ‘연달아 적용’하는 합성은 변환을 거듭하는 발상이다. 합성이 결합법칙을 만족하고 항등원·역원이 있다는 성질은, 함수들의 모임이 군(group)을 이룬다는 현대 대수의 핵심 예가 된다.

핵심 일대일대응 $f$에 대해 대응을 거꾸로 한 $f^{-1}$. $y=f(x)\Leftrightarrow x=f^{-1}(y)$이며, 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭이다.

역사 ‘되돌리는’ 연산은 뺄셈이 덧셈을, 나눗셈이 곱셈을 되돌리듯 수학의 보편적 주제다. 로그가 지수의 역함수로 정의되면서, 역함수는 계산을 뒤집어 새로운 함수를 만드는 강력한 도구임이 드러났다.

핵심 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 꼴의 함수. $y=\dfrac{k}{x}$의 그래프(직각쌍곡선)를 평행이동한 것으로, 점근선과 정의역(분모 $\ne0$)을 파악한다.

역사 $y=\dfrac{k}{x}$ 같은 반비례 곡선(쌍곡선)은 아폴로니우스의 원뿔곡선 연구에서 이미 등장했다. 해석기하가 이를 분수식의 그래프로 다루면서, 점근선처럼 ‘무한히 가까워지지만 닿지 않는’ 극한 개념의 직관을 길러 주었다.

핵심 $y=\sqrt{ax+b}+c$처럼 근호 안에 문자가 있는 함수. 정의역은 근호 안이 $0$ 이상인 범위이며, 그래프는 이차함수의 일부를 옆으로 누인 모양이다.

역사 무리함수는 무리수($\sqrt{2}$ 등)를 변수로 끌어들인다. 무리수의 존재는 피타고라스 학파에 충격이었지만, 근호를 함수로 다루게 되면서 무리수는 연속적인 수직선을 채우는 자연스러운 수로 자리 잡았다(데데킨트의 실수론).