01 수와 식의 계산

핵심 유한소수와 무한소수, 순환소수와 순환마디(예: $0.3\dot{1}\dot{2}$).

역사 소수점을 이용한 십진소수 표기는 16세기 플랑드르의 시몬 스테빈이 《소수론(De Thiende)》에서 널리 보급했다. 분수를 소수로 바꾸면 어떤 것은 딱 떨어지고 어떤 것은 같은 마디가 끝없이 반복되는데, 이 ‘순환’의 규칙성을 관찰한 것이 이 단원의 출발이다.

핵심 모든 순환소수는 분수로 나타낼 수 있어 유리수이다. 기약분수의 분모의 소인수가 $2$와 $5$뿐이면 유한소수가 된다.

역사 “끝없이 반복되는 소수도 결국 분수다”라는 사실은 무한을 유한한 식으로 다루는 첫 경험이다. 이 발상은 무한히 더하는 합(무한등비급수)을 다루는 후대 미적분학의 사고로 이어진다. 또한 “순환하지 않는 무한소수는 분수가 아니다”라는 인식이 중3의 무리수로 연결된다.

핵심 $a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$, $a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}\,(m>n)$, $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$.

역사 $a\times a\times a$를 $a^{3}$으로 쓰는 거듭제곱 표기는 데카르트(17세기)가 정착시켰다. 천문학에서 다루는 어마어마하게 큰 수를 간결히 적고 계산하려는 필요가 지수 표기를 낳았고, “지수의 덧셈이 곱셈이 된다”는 지수법칙은 곱셈을 덧셈으로 바꾸는 로그의 발명(네이피어)으로 이어져 천문 계산을 혁신했다.

핵심 지수법칙을 이용한 단항식의 곱셈과 나눗셈.

역사 문자와 지수를 결합한 식을 자유롭게 곱하고 나누는 능력은, 비에트·데카르트가 다진 ‘기호 대수’ 덕분에 가능해졌다. 복잡한 양도 규칙에 따라 기계적으로 계산할 수 있게 된 것이다.

핵심 다항식의 덧셈·뺄셈(동류항 정리), $(\text{단항식})\times(\text{다항식})$, $(\text{다항식})\div(\text{단항식})$.

역사 여러 항으로 이루어진 식(다항식)을 다루는 기술은 방정식·함수를 일반적으로 연구하기 위한 기초 문법이다. 다항식의 계산이 정비되면서 대수학은 ‘식을 다루는 학문’으로 본격적으로 성장했다.