01 수와 연산

핵심 소수($1$과 자기 자신만을 약수로 갖는 $1$보다 큰 자연수)와 합성수. 자연수를 소수만의 곱으로 나타내는 것이 소인수분해이며 거듭제곱으로 표현한다(예: $360=2^{3}\times3^{2}\times5$). 약수의 개수 $=(\text{지수}+1)$들의 곱.

역사 고대 그리스의 피타고라스 학파(B.C. 6세기)는 “만물은 수”라 믿고 수를 더 쪼갤 수 없는 단위로 분석하려 했고, 그 과정에서 소수를 ‘수의 원자’로 보았다. 유클리드는 《원론》(B.C. 300년경)에서 소수가 무한히 많음을 증명했고, 모든 자연수가 소수의 곱으로 유일하게 분해된다는 ‘산술의 기본정리’의 토대를 놓았다. 즉 소인수분해는 “수는 무엇으로 만들어지는가?”라는 근원적 질문에서 태어났다.

핵심 공통인 소인수로 최대공약수·최소공배수를 구한다. $A\times B=(\text{최대공약수})\times(\text{최소공배수})$. 최대공약수가 $1$이면 서로소.

역사 고대 이집트·바빌로니아는 빵이나 토지를 남김없이 공평하게 나누는 분배 문제에서 공약수가 필요했다. 유클리드는 《원론》에서 두 수의 최대공약수를 빠르게 구하는 ‘유클리드 호제법’을 제시했는데, 이는 현존하는 가장 오래된 알고리즘 중 하나로 분수의 약분과 측정 단위 통일에 쓰였다.

핵심 양수·음수와 $0$, 정수와 유리수$\left(\dfrac{(\text{정수})}{(0\text{이 아닌 정수})}\right)$. 수직선, 절댓값 $|a|$, 대소 관계.

역사 분수(유리수)는 이집트가 빵·곡물을 나누는 측량과 분배에서 일찍부터 썼다. 반면 음수는 중국의 《구장산술》(기원 전후)에서 빚과 부족분을 나타내려 ‘음(陰)의 산가지’로 처음 등장했고, 인도의 브라마굽타(7세기)가 “재산과 빚”의 비유로 음수의 연산 규칙을 정립했다. 유럽은 17세기까지도 음수를 ‘거짓 수(false number)’라 부르며 인정하기를 꺼렸다.

핵심 부호 규칙에 따른 덧셈과 교환·결합법칙. 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꿔 더한다: $a-b=a+(-b)$.

역사 “빚에 빚을 더하면 더 큰 빚, 재산에서 빚을 갚으면 재산이 준다”는 상업적 직관이 부호가 있는 수의 덧셈·뺄셈 규칙을 낳았다. 인도와 이슬람 상인들의 회계가 이런 규칙을 실제로 다듬어 갔다.

핵심 같은 부호끼리는 $+$, 다른 부호끼리는 $-$. 교환·결합·분배법칙, 역수. 나눗셈은 역수의 곱셈으로: $a\div b=a\times\dfrac{1}{b}$.

역사 “음수 $\times$ 음수 $=$ 양수”라는 규칙은 수백 년간 논쟁거리였다. 브라마굽타가 규칙을 적었지만, 데카르트·오일러조차 그 ‘이유’를 설명하느라 애를 먹었고, 결국 분배법칙이 모순 없이 성립하려면 그래야 한다는 논리적 일관성 때문에 받아들여졌다.