02 문자와 식

핵심 수 대신 문자로 수량 관계를 표현. 곱셈 기호 생략($3\times a=3a$), 나눗셈은 분수로($a\div b=\dfrac{a}{b}$).

역사 고대 수학은 문제를 말로 풀어 쓰는 ‘수사적 대수’였다. 그리스의 디오판토스(3세기)가 미지수를 기호로 줄여 쓰기 시작했고, 이슬람의 알콰리즈미(9세기)가 일반적 풀이법을 정리했으며, 16세기 프랑스의 비에트가 알려진 수와 모르는 수를 모두 문자로 나타내면서 비로소 ‘하나의 식으로 모든 경우’를 표현하는 대수학이 완성되었다.

핵심 문자에 수를 대입하여 식의 값을 구한다(예: $x=2$일 때 $3x+1=7$).

역사 ‘대입’은 하나의 공식을 수많은 구체적 상황에 적용하는 힘이다. 천문표·이자표처럼 같은 계산을 값만 바꿔 반복해야 했던 실무에서, 일반식에 수를 넣어 답을 얻는 방식이 큰 효율을 가져왔다.

핵심 항·계수·차수·상수항·동류항. 동류항끼리 모아 덧셈·뺄셈, 분배법칙 $a(b+c)=ab+ac$.

역사 알콰리즈미의 책 제목 《복원(al-jabr)과 대비(al-muqabala)》에서 ‘대수(algebra)’라는 말이 나왔다. ‘복원’은 이항, ‘대비’는 동류항 정리에 해당하니, 식을 정리하는 이 단원의 행위가 바로 대수학의 어원이다.

핵심 등식, 방정식과 항등식의 구분, 해(근). 등식의 양변에 같은 수를 더하거나 곱해도 성립하는 등식의 성질.

역사 이집트의 린드 파피루스(B.C. 1650년경)에는 “어떤 양에 그 $\tfrac{1}{7}$을 더했더니 $19$가 되었다, 그 양은?” 같은 ‘아하(미지량) 문제’가 실려 있다. 모르는 양을 ‘$x$’로 놓고 균형을 맞춰 찾는 발상은 인류의 가장 오래된 문제 해결 전략 중 하나다.

핵심 이항하여 $ax=b\,(a\ne0)$ 꼴로 정리 후 $x=\dfrac{b}{a}$. 수·나이·거리/속력/시간 등 활용.

역사 등식을 ‘저울의 균형’으로 보고 양변에 같은 조작을 가해 미지수를 분리하는 방법은 알콰리즈미가 체계화했다. 세금·상속·교역 분배 같은 실제 행정·상업 문제가 방정식 풀이의 주된 동기였다.