03 좌표평면과 그래프

핵심 순서쌍 $(a,\,b)$, 좌표평면($x$축·$y$축), 점의 좌표, 네 사분면.

역사 17세기 데카르트는 위치를 두 수의 쌍으로 나타내면 도형(기하)을 식(대수)으로 다룰 수 있음을 깨달았다(해석기하학). 그가 침대에 누워 천장의 파리 위치를 두 벽으로부터의 거리로 표현하려 했다는 일화가 유명하다. 페르마도 비슷한 생각을 독립적으로 했다.

핵심 두 양 사이의 관계를 그래프로 나타내고 증가·감소 등을 해석한다.

역사 중세의 오렘(14세기)은 속도가 시간에 따라 변하는 모습을 그림으로 그려 ‘변화’를 시각화했다. 이렇게 양의 변화를 한눈에 보는 그래프는 훗날 과학에서 데이터를 읽는 보편 언어가 되었다.

핵심 $y=ax\,(a\ne0)$. 그래프는 원점을 지나는 직선.

역사 “양이 두 배면 값도 두 배”라는 비례 관계는 상업의 환율·이자, 건축의 축척, 천문의 비례에서 가장 먼저 쓰인 수학적 관계였다. 유클리드 《원론》 제5권은 통째로 비례론에 바쳐졌을 만큼 고대 수학의 중심이었다.

핵심 $y=\dfrac{a}{x}\,(a\ne0)$. 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선.

역사 아르키메데스의 지렛대 원리(“힘과 팔 길이는 반비례”)처럼, 한쪽이 커지면 다른 쪽이 줄어드는 관계는 일찍부터 관찰되었다. 훗날 보일의 법칙(압력과 부피의 반비례) 등 자연법칙으로 이어진다.