05 평면도형과 입체도형

핵심 내각·외각. $n$각형의 내각의 합 $=180^{\circ}\times(n-2)$, 외각의 합 $=360^{\circ}$, 대각선 개수 $=\dfrac{n(n-3)}{2}$.

역사 다각형의 각과 변에 대한 연구는 신전 바닥·모자이크·성벽 설계 같은 건축과 장식에서 비롯됐다. 그리스 기하학은 정다각형의 작도와 성질을 깊이 탐구했고, 훗날 가우스는 정$17$각형이 자와 컴퍼스로 작도 가능함을 증명해 화제가 되었다.

핵심 호·현·부채꼴. 중심각은 호·넓이에 정비례. 호의 길이 $\ell=2\pi r\cdot\dfrac{x}{360}$, 넓이 $S=\pi r^{2}\cdot\dfrac{x}{360}=\dfrac{1}{2}r\ell$.

역사 바퀴·해시계·천체의 궤도 때문에 원은 가장 중요한 도형이었다. 원의 둘레와 지름의 비 $\pi$를 구하려고 바빌로니아·이집트는 근삿값을 썼고, 아르키메데스는 원에 내접·외접하는 정다각형으로 $\pi$를 $3.14$ 부근으로 정밀하게 가둬 계산하는 방법을 창안했다.

핵심 면의 모양과 개수에 따른 분류, 정다면체는 $5$가지뿐.

역사 플라톤은 정사면체·정육면체 등 5개의 정다면체를 불·흙 같은 우주의 기본 원소와 연결지어 ‘플라톤 입체’로 불린다. 유클리드 《원론》은 마지막 권에서 정다면체가 정확히 다섯 개뿐임을 증명하며 대장정을 마친다.

핵심 평면도형을 축으로 회전한 입체와 그 단면(원·원뿔·구 등).

역사 도자기를 빚는 물레, 기둥을 깎는 선반처럼 ‘축을 중심으로 도는’ 제작 방식이 회전체의 직관을 주었다. 아르키메데스와 카발리에리는 회전체의 부피를 단면으로 분석하는 방법을 발전시켰다.

핵심 기둥·뿔·구의 전개도를 이용한 겉넓이. 구의 겉넓이 $S=4\pi r^{2}$.

역사 그릇을 만들 금속판, 지붕을 덮을 자재의 양을 미리 알아야 했던 실용적 필요가 겉넓이 계산을 낳았다. 아르키메데스는 구의 겉넓이가 그 구를 둘러싼 원기둥의 옆넓이와 같음을 밝혀냈다.

핵심 기둥 $V=Sh$, 뿔 $V=\dfrac{1}{3}Sh$, 구 $V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.

역사 곡식 창고와 피라미드의 부피 계산은 고대 행정의 핵심이었다. 아르키메데스는 구의 부피가 외접 원기둥의 $\tfrac{2}{3}$임을 자신의 최대 업적으로 여겨 묘비에 ‘구와 원기둥’을 새겨 달라 했다고 전한다.